Second-order System   2차 시스템

1. 2차 시스템 (Second-order System)

  ㅇ "(진동) + (감쇠) + (에너지 저장 2요소)"를 갖는 시스템의 표준 모델
     - 수학적 모델링  :  선형 2계 미분방정식
     - 물리적 모델링
        . (물리계)  질량 - 스프링 - 감쇠 시스템
        . (전기계)  RLC 회로
     - 입출력 모델링  :  전달함수

  ※ [참고]  대부분(2차 이상의 고차)의 시스템 해석 및 설계가, 
     - 이러한 2차 시스템 모델을 기준으로 이루어져 왔음


2. 2차 시스템의 수학적 모델링  

  ㅇ 수학적으로, 선형 2계 미분방정식 (운동방정식)으로, 모델링되는 시스템
      
[# \frac{d^2 x}{d t^2} + a_1 \frac{d x }{d t } + a_0 \, x = f(t) #]
 
     - f(t) : 강제함수(입력)
     - a1,a0 : 실수 계수
        . 만일, LTI시스템이면, => 계수가 실수 상수가 되고, => 상수 계수 2계 미분방정식 임
     - x(t) : 변위,전압,전류 등 시스템 변수(출력)
        . 여기서, x(t)는 구하고자하는 미분방정식 해

  ※ [참고]  아래 3항 처럼, 물리계이든 전기계(☞ 2차회로 참조)이든, 
     - 수학적으로는 동일하게 취급됨


3. 2차 시스템의 물리적 모델링  
  
  ㅇ 질량 - 스프링 - 감쇠 시스템 (Mass Spring Damper Model) 例  :  (1자유도 2차 시스템 진동계)

     

     - m : 관성질량 (에너지 저장 가능)
     - c : 댐핑 (에너지 소실)
     - k : 강성 (스프링의 경우에 스프링상수 또는 탄성계수)
     - f : 입력 (강제력/여기력)
     - x : 출력 또는 질량 m의 위치 변화량

  ※ [참고]  1자유도 2차 시스템의 대표 물리 모델  :  "질량 - 스프링 - 감쇠계"
     - 1자유도  :  독립 변수(좌표)가 1개뿐, 변위 x(t) 하나로 상태가 완전히 결정됨  
     - 2차 시스템  :  최고 미분 차수 = 2차 ({#\ddot{x}#})
     - 고유 진동수  :  {#\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}#}
        . 진동하는 주파수가 2배 늘려면, 질량 m이 1/4 감소, 스프링상수 k가 4배 증가 해야함
     - 제동비 (감쇠계수)  :  {#\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}#}


4. 2차 시스템의 입출력 전달함수 모델링

  ㅇ 2차 시스템의 전달함수 표준형  :  (2차 폐루프 제어 시스템 경우)
     
     -  ζ : 제동비, ωn : 고유진동수, Q : 양호도

  ㅇ 2차 시스템의 전달함수 및 대응되는 필터 형태
     * 분자 다항식 N(s)의 형태 및 근(영점)에 따라,
        . LPF, HPF, BPF, BSF, APF 로 구분이 가능
          

     * 분모 다항식 D(s) 형태 및 근(극점)에 따라, 
        . 입력과는 무관한 시스템 고유의 특성을 나타냄
           .. 극점에 의해 시스템의 과도응답,안정도 등 동작 특성이 지배를 받음

     * 분모 다항식 = s2+2ζωns+ωn2 또는 s2+(Q/ωn)s+ωn2 = 특성 방정식

  ※ [참고]  2차 단순 폐루프 제어시스템의 전달함수
       
[# H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{ω^2_n}{s^2 + 2ζω_n s + ω^2_n} #]
 


5. 2차 시스템의 물리적 모델링에서, 힘 및 운동/진동 표현

  ㅇ 2차 시스템의 운동방정식 표준형  :  힘 성분별 대응 표현
     
[# \begin{matrix} m\ddot{x} & + & c\dot{x} & + & kx & = & f(t) \\
                       \ddot{x} & + & (c/m)\dot{x} & + & (k/m)x & = & f(t)/m \\
                       \ddot{x} & + & 2(c/m)\dot{x} & + & (k/m)x & = & f(t)/m \\
                       \ddot{x} & + & 2ζω_n \dot{x} & + & ω^2_n x & = & F(t) \\
                       I & & D & & K & & F
        \end{matrix} #]
     - 관성력 (Inertia Force, I)  :  {#I = m\ddot{x}#}
        . (m : 관성 질량)
     - 감쇠력 (Damping Force, D)  :  {#D = c\dot{x}#}  (속도에 비례하는 저항력)
        . (c : 댐핑 계수)
     - 탄성 복원력 (Restoring Force, K)  :  {#K = kx#}
        . (k : 탄성 계수)
     - 여기력 (Excitation Force, F)  :  {#F = f(t)#}
        . 외부의 구동력 (Driving Force)

     * [참고] ☞ 진동 관련 힘 (I, D, K, F) 참조

  ㅇ 2차 시스템의 운동방정식 표준형  :  운동/진동 종류별 대응 표현
     - 비감쇠 자유 진동   :   D = 0, F = 0   =>   {# \ddot{x} + ω^2_n x = 0 #}
     - 감쇠 자유 진동   :   F = 0   =>   {# \ddot{x} + 2ζω^2_n \dot{x} + ω^2_n x = 0#}
     - 비감쇠 강제 진동   :   D = 0   =>   {# \ddot{x} + ω^2_n x = F(t) #}
     - 감쇠 강제 진동   :   모든 항 존재   =>   {# \ddot{x} + 2ζω_n \dot{x}+ω^2_n x=F(t)#}


6. 2차 시스템 例

  ㅇ [전기회로]  2차 회로 (RLC 회로)

  ㅇ [제어시스템]  2차 단순 폐루프 제어시스템

  ㅇ [물리계]  단순 조화진동 등