Polar Coordinate   극 좌표계

1. 극 좌표계 (Polar Coordinate System)

  ㅇ 평면 상의 위치를 `거리`와 `각도`로써 지정하는 방법
     - 스위스 수학자, 야코프 베르누이(Jakob Bernoulli, 1654~1705)에 의해 고안되었다 함


2. 극 좌표계의 표현 

  ㅇ 극점(원점)으로부터 `유향 거리(r)`와 `유향 방향(θ)`으로 정하는 2차원 평면 좌표계

       

     -  O      : 원점(origin) 보다는 극점(pole) 이라는 용어를 더 많이 씀
     -  r      : 극점 O로부터 점 P까지의 유향 거리(directed distance)
     -  θ     : 시계반대방향의 유향 각도(directed angle)
     - P(r,θ) : 극좌표 점 표현

  ㅇ 주로, 중심력과 원운동을 동시에 묘사할 때 유용함


3. 극좌표계의 성질 

  ㅇ 직각좌표계에서는 좌표 (x,y)는 유일하지만, 극좌표계에서는 유일하지 않음
     - 例) (r,θ)와 (r,2π+θ)는 같은 점

  ㅇ 음(-)의 길이,각도 표현 가능
     - 例) (r,θ) = (-2,-π/3) : 길이가 -2 이고 각도가 -π/3 인 좌표점


3. 타 좌표계와의 관계(변환)

  ㅇ (2차원 극좌표계 ↔ 2차원 직각좌표계)
     - (직각좌표 → 극좌표)  r2 = x2 + y2,  tan θ = y / x
     - (극좌표 → 직각좌표)  x = r cosθ,  y = r sin θ

  ㅇ (2차원 극좌표계 ↔ 3차원으로 확장시킨 직교좌표계)
     - (원통좌표계)  2차원 극좌표계 => 3차원 원통좌표계 (축방향 좌표 z 추가됨)
        . ρ (수평거리), Φ (방위각,longitude), z (축방향 좌표)
     - (구좌표계)  2차원 극좌표계 => 3차원 구좌표계 (선택된 축에서 각도 θ가 추가됨)
        . r (원점 반경), θ (선택된 축에서 각도), Φ (그 축 둘레의 방위각)


4. 극좌표계의 미분 요소

  ㅇ 선 요소 : 

  ㅇ 면 요소 : 


5. `벡터`의 극좌표 표현

   

  ㅇ 직각좌표계와 달리, 
     - 축방향 단위벡터 ur,uθ는 위치에 따라 그 방향이 달라짐

  ※ [참고] 극좌표계에 의한 속도,가속도 (벡터 미분) 표현 ☞ 등속 원운동 벡터 표현 참조


6. `복소수/복소변수`의 극좌표 표현

  ㅇ 복소수 표현 형태
     - 직교좌표형 (Cartesian Form)      :   z = x + jy
     - 극좌표형/극형식 (Polar Form)     :   z = r ∠θ = r (cosθ + j sinθ)
     - 복소지수형 (Complex Exponential) :   z = r ejθ
        . 여기서, r = √(x2 + y2) : 복소수 크기(Magnitude) 또는 절대값(Modulus),
                 θ = arg z : 편각(Argument)

  ㅇ 복소 주파수/복소 변수 :  z = r ejω
     
     - 여기서, ω는 각주파수