1. 자유도 (Degree of Freedom) = 차원 (Dimension)
ㅇ 주어진 조건 하에서 자유롭게 변할 수 있는 자료(변수)의 수
- 例) 질점의 위치(상태) 파악에 필요한 최소개의 독립변수(좌표)의 수
2. [ 통계분야 ] 자유도
ㅇ 표본 중 모집단에 대한 정보를 줄 수 있는, 독립적인 표본의 수
- 변화가 가능한 (자유롭게 값을 취할 수 있는) 데이터의 수
ㅇ 例) 표본 통계량의 평균 및 표준편차를 구할 때,
- 나뉘어지는 분자(分子)가 평균은 n을 쓰고, 표준편차는 n-1을 사용하는 이유는?
. 표본 평균 : 개별 독립적으로 자유롭게 사용할 수 있는 표본의 수가 n개
. 표본 표준편차 : 편차의 수 n-1를 자유롭게 사용 가능한 표본의 수로 함
.. 즉, 편차의 총합이 0 이 되므로, n-1 개 만으로도 나머지 1 개가 총합이 0 이 됨을,
.. 이미 알 수 있기 때문에, 자유도가 n-1 이 됨
. 모집단 표준편차는, 기지의 모평균을 사용하므로, 개별 자료 값들이 모두 독립적임
3. [ 역학분야 ] 자유도, 구속조건
ㅇ 자유도 (Degree of Freedom)
- 계의 상태(위치 등)를, 명확하게 기술하는데 필요한, 최소개 독립변수(좌표)들의 수
. 물리계의 모든 상태(위치 등)를 완전하게 기술하기위한 독립 좌표들의 최소 수
- 서로 독립적으로 움직일 수 있는 운동 형태의 수
. 입자가 에너지를 받을 때, 이를 독립적인 운동 형태로 전환할 수 있는 가능성의 수
- 例)
. 3차원 공간 내,
.. 각 질점은, 3개의 병진운동 자유도를 갖음
.. N개 질점은, 3·N개의 자유도를 갖음
. 운동별 자유도
.. 병진운동 : (x축,y축,z축 3개)
.. 회전운동 : (회전 축별 회전에 2개 방향 존재) ☞ 회전 자유도 참조
.. 진동운동 : (각 방향에서 발생할 수 있는 진동의 독립적인 모드)
. 고체 내 격자의 진동운동 자유도는, 총 6개
.. (병진운동 자유도 3개, 격자자리 중심의 진동운동 자유도 3개)
ㅇ 만일, 구속조건이 있을 경우, 자유도는 구속조건의 수 만큼 감소
- 자유도 = (필요한 좌표의 수) - (구속 방정식의 수) ☞ 역학적 구속조건 참조
. 통상, 자유도 수는, 계 내의 관성 요소, 구속 조건에 의해 결정됨
.. (구속조건 : 질점이 모든 방향으로 자유로이 움직일 수 없게하는 조건)
- 例) 일정 길이의 막대로 연결된 2개 질점으로 된 계는,
. 6 - 1 = 5개의 자유도를 갖음
4. [ 역학분야 ] 자유도계(自由度系)의 종류(예시)
ㅇ 1 자유도 계 : 질점의 위치가 기준점에서 측정된 거리 만으로 정해짐
- (레일 위 기차의 이동하는 거리 등)
ㅇ 2 자유도 계 : 질점의 위치가 평면/곡면 상에서 2개 좌표로 정해짐
- (2차원 평면 관점에서, 지구 지점 위치에 대해 위도,경도 등)
ㅇ 3 자유도 계 : 질점의 위치가 3차원 공간 상에서 3개 좌표로 정해짐
- (병진운동 만 허용되면, 3개 좌표 즉, 3 자유도이면 충분)
- (회전운동까지 허용되면, 3축별 각각 축 회전도 포함시켜, 3 x 2 = 6개 자유도임)
. (즉, 3개 병진운동 자유도 + 3개 회전운동 자유도 = 6개)
- (만일, 질점이 한 점에 붙들려 있게 된다면, 3개 회전운동 자유도 만 갖음 : 팽이)
- (만일, 고정된 축 만을 회전한다면, 오직 1개 회전운동 자유도 만 갖음 : 단 진자)
ㅇ 다 질점계의 자유도 계 : 질점 수 x 개별 질점의 자유도 수
- (3 질점계의 평면 위 운동은, 3 x 2 = 6 자유도계 임)
. (단, 3차원 상에, 두 질점 간에 일정 거리 유지의 구속조건이면,
자유도 = 2 x 3 - 1 = 5)
ㅇ 다른 자유도를 갖는 시스템(계,系)들의 例 : ☞ 다 자유도 계 참조
ㅇ 무한한 자유도를 갖는 계 : 단단하지 않은 연속된 질량 분포를 갖는 연속계 (분포 매개변수계)
- (例 : 보,줄,막대,박막 진동 등)
5. [ 열역학/통계역학적 분야 ] 한편, 열역학/통계역학적 관점에서의 자유도
ㅇ 계가 에너지를 흡수했을 때, 그 에너지가 분배될 수 있는 독립적인 운동 형태의 수
- 例) 기체 분자 운동론에서,
. 일반적으로,
.. "병진 운동" 만으로 3개의 자유도를 갖고,
.. 더 복잡한 분자에서는, "회전 운동","진동 운동"까지 고려되어 더 많은 자유도 존재
. 단원자 기체 분자 (He,Ne 등)
.. 병진 운동 자유도 3개
. 이원자 기체 분자 (O2,N2 등)
.. 총 5개 이상의 자유도 : 병진 3개 + 회전 2개 + (고온에서) 진동 2개(진동에너지 포함)
. 다 원자 입자(분자) : 총 5 또는 6개의 자유도 (대개, 3개의 회전축을 가짐)
.. (병진운동 자유도 3개, 선형 분자 회전운동 자유도 2개, 비선형 분자 3개)
. 한편, 자유도가 온도에 따라 활성화되는 형태로 달라질 수 있음
.. 평균에너지 = 1/2 kBT x (자유도 수)
.. 이는 에너지 등분배 정리와 연결됨
.. (열평형 상태 하, 기체 분자들은 각 자유도 마다 똑같은 평균 에너지로 분배됨)