Diagonal Matrix   대각 행렬

1. 대각 행렬 (Diagonal Matrix)

  ㅇ 주 대각선 원소들을 제외하고, 나머지 모든 원소들이 0 인, 정방행렬
       

  ㅇ (표기)
     - n차 대각 행렬 : diag(a11,a22,...,ann)


2. 대각 행렬의 연산 및 성질

  ㅇ 대각행렬의 역행렬
     
     - 주 대각선 요소들의 역수가 됨

  ㅇ 대각행렬의 거듭제곱
     
     - 주 대각선 요소들의 제곱이 됨

  ㅇ 대각행렬과의 행렬곱셈
     
     - 대각행렬이 앞에 곱해지면, 각 행에 대각행렬의 주대각 성분이 곱해짐
     - 대각행렬이 뒤에 곱해지면, 각 열에 대각행렬의 주대각 성분이 곱해짐

  ㅇ 두 대각행렬 간의 행렬 덧셈,곱셈
     - 두 대각행렬 간의 행렬덧셈
        .  A + B = diag(a11,a22,a33) + diag(b11,b22,b33) = diag(a11+b11,a22+b22,a33+b33)
     - 두 대각행렬 간의 행렬곱셈
        
        . 교환법칙 성립
        . 대각행렬 간의 곱 또한 대각행렬이 됨

  ㅇ 대각행렬의 행렬식
     -  |D| = d1d2d3...dn
        . 주 대각선 모든 요소들의 곱

  ㅇ 대각행렬의 대각합(Trace)
     -  tr(A) = a11 + a22 + ... + ann
        . 정방행렬 A의 주 대각 성분들의 합

     - 대각합의 성질
        .  tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
        .  tr(cA) = c tr(A)
        .  tr(A B) = tr(B A) 
        .  tr(A B C) = tr(C B A) = tr(B C A)

  ㅇ 고유값, 고유벡터
     - 대각행렬 D의 고유값은, 주대각선 성분 d1, d2, ..., dn이 됨
        . 즉, 대각행렬의 대각성분 각각이 고유값에 해당됨
      - dj에 대응되는 고유벡터는, j열 성분이 1이고 나머지 성분들이 0 임
        

  ㅇ 대각행렬 D가 정칙행렬이 될 필요충분조건
     - 주대각선의 모든 성분에서 0 이면 안됨


3. 대각 행렬의 의미, 유용성

  ㅇ 계산이 매우 간단
     - 행렬 곱셈이 쉬워짐  :  각 성분별로 단순 곱셈 만 수행하면 됨
        
[# D \mathbf{x} = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots \\ 0 & d_2 & \cdots \\ 
                                          \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}
                          \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \end{bmatrix}
                        = \begin{bmatrix} d_1x_1 \\ d_2x_2 \\ \vdots \end{bmatrix}#]

  ㅇ 거듭제곱 계산이 쉬움
     - 일반 행렬은 An 계산이 복잡하지만, 대각 원소 만 거듭제곱하면 됨
        
[# D^n = \begin{bmatrix} d_1^n & 0 & \cdots \\ 0 & d_2^n & \cdots \\ 
                                 \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}#]

  ㅇ 역행렬 계산이 쉬움
     - 대각 원소가 0 만 아니면 됨
        
[# D^{-1} = \begin{bmatrix} 1/d_1 & 0 & \cdots \\ 0 & 1/d_2 & \cdots \\ 
                                    \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}#]

  ㅇ 선형변환의 본질을 보여줌
     - 일반 행렬은, 회전,기울임,확대 등이 섞여 있지만,
     - 대각 행렬은, 각 방향별 확대,축소,부호 반전 만 나타냄
     - 즉, 가장 단순한 형태의 선형변환 임

     - 例) 
        
[# D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} #]
        . 각 좌표축 방향이 서로 독립적으로 작용함을 의미
           .. 첫 번째 축 : 2배 확대
           .. 두 번째 축 : 1/3배 축소
           .. 세 번째 축 : -1배 (부호 반전)
        . 즉, 축 간의 상호작용(혼합)이 없음

  ㅇ 복잡한 행렬을 대각 행렬로 바꿔 분석 용이
     - 행렬 A가, A = P D P−1로 표현되면, (대각화 가능 행렬)
     - 복잡한 행렬 A를 대각 행렬 D로 바꾸어, 쉽게 분석 가능
     - 이때, D의 대각 원소는, A의 고유값 임

  ㅇ 물리,공학적 의미
     - 대각 행렬은, 서로 독립인 모드(mode) 또는 상태(state)를 나타냄
     - 例) 
        . 진동계  :  고유 모드  (각 고유모드가 독립적으로 진동)
        . 양자역학  :  고유 에너지 상태  (각 고유에너지 상태가 독립 상태)
        . 통신  :  독립 통신 채널  (채널 간 간섭이 없음)
        . 제어공학  :  상태공간의 독립 모드  (상태변수들을 독립 모드로 분리 가능)
        . 관성모멘트 텐서  :  주축 좌표계에서 대각 행렬  (회전축들이 서로 간섭하지 않음)
     - 복잡하게 결합된 시스템을 독립적인 여러 부분으로 분리하여 해석할 수 있게 해줌
        . 원래는 서로 얽혀 있던 여러 변수의 운동/관련성을, 
        . 서로 독립인 여러 개의 단순한 운동으로 분리 해석 가능


4. [참고사항]

  ※ ☞ 대각화 (Diagonalization) 참조
     - 대각선 성분들 만 남기고, 나머지 성분들을 모두 0 이 되도록 하는 것

  ※ ☞ 대각화 가능 (Diagonalizable) 참조
     - 정방행렬 A에, 
     - 어떤 가역행렬 S를, Λ = S-1 A S 와 같이 적용하여, 
     - 대각행렬 Λ를 만들 수 있을 때.