Power Method   거듭제곱법

(2025-02-13)

1. 거듭제곱법, 법 (Power Method)행렬고유값,고유벡터를 계산하는 수치기법 중 하나
     - 정방행렬거듭제곱을 구함으로써, 
     - 절대값이 최대인 고유값과 그 고유벡터를 구하는 방법
     * 많은 경우에, 절대값이 가장 큰 `우세 고유값` 만이 관심의 대상이 됨

  ㅇ 작동 조건
     - 행렬 A가 가장 큰 절댓값인 단일한 고유값((dominant eigenvalue, λ1)을 가질 때 특히 유용함
     - 고유값들이 서로 다르고, |λ1| > |λ2| ≥ |λ3| ≥ . . . ≥ |λn|​를 만족해야 함

  ㅇ 작동 방법  :  반복법(Iterative Method)의 일종 (반복 과정 알고리즘)
     - 초기 벡터 x(0) 선택
        . 임의의 초기 벡터 x(0)을 설정 (단, 영 벡터는 제외)
     - 행렬 벡터 곱 반복 수행
        . x(k+1) = A x(k)
        . 이때, 벡터 x(k+1)정규화하여 크기가 발산하지 않도록 조정
     - 수렴 판별
        . x(k)의 변화량이 충분히 작거나 변화 않을 때까지 반복
        . 이때, 고유값은 다음과 같이 근사할 수 있음
            
[# λ^{(k)} = \frac{x^{(k+1)} \cdot x^{(k)}}{x^{(k)} \cdot x^{(k)}} #]
- 반복 종료 후 결과 출력 . 수렴하면, 우세한 고유값 λ1 및 대응하는 고유벡터 x1를 근사적으로 구할 수 있음 ㅇ 특징 - 장점 . 계산량이 적고 구현이 간단 . 반복을 통해 고유값을 빠르게 근사 . 대형 행렬(희소 행렬 포함)에 대해 유용하게 사용 가능 - 단점 . 가장 큰 절댓값을 가지는 고유값만 찾을 수 있음 . 여러 개의 절댓값이 동일한 고유값이 존재하면 수렴하지 않음 . 수렴 속도가 느릴 수 있음

고유값문제
1. 고유값 문제   2. 고유값 문제 용어   3. 고유값,고유벡터   4. 고유 공간   5. 고유 함수   6. 특성 방정식   7. 거듭제곱법   8. 닮음 행렬   9. 대각화  
용어해설 종합 (단일 페이지 형태)

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