Invertible Matrix, Nonsingular Matrix   가역 행렬, 정칙 행렬

(2022-11-11)

가역적 (Invertible), 가역성 , 가역적


1. 가역적 (Invertible)수학에서, 가역적이라 하면,                                            ☞ [일반] 가역성 참조
     - 역 함수, 역 행렬, 역원이 유일하게 존재하여,
     - 입출력 또는 곱셈 순서를 뒤바꿔도,
     - 원하는 유일한 것을 얻을 수 있음을 말함
 

2. [행렬]  가역 행렬(Invertible Matrix) = 정칙 행렬(Nonsingular Matrix)가역적  =>  역행렬이 유일 존재 함
     - 행렬 A이, 가역적(Invertible)이라면,
     - 그 역행렬 A-1이 유일하게 존재(uniquely existence) 함

  ㅇ 가역 행렬  =>  역 행렬이 존재하는 정방 행렬
     - 단, 정방행렬이 아니면 역행렬이 정의되지도 않음

  ※ 한편, 정방행렬 중에도 역행렬이 존재하지 않는 행렬은,
     - `특이행렬 = 비가역행렬 = 비정칙행렬` 이라고 함

  ㅇ 만일, CA = AC = I를 만족하는 n x n 행렬 C이 존재하면,
     - 이때의 CA의 역(Inverse)이라 하며, C = A-1라고 씀

  ㅇ 결국, 다음이 성립 함
     - AA-1 = A-1A = I


3. [행렬]  가역 행렬의 판단 조건가역적 및 비가역적 판단 조건  :  통상, 행렬식으로 판단함

  ㅇ A일 때,
     - 가역행렬이 될 필요충분조건 (가역적, Invertible)  :  (행렬식이, 0 이 아닐 때)
        .  det(A) = ad-bc ≠ 0 
     - 가역행렬이 아닐 조건 (비가역적, Non-invertible)  :  (행렬식이, 0 이 될 때)
        .  det(A) = ad-bc = 0 


4. [행렬]  가역 행렬의 존재성 및 유일성A가 가역 행렬이면, 
     - A의 역행렬이 존재하고,
     - 이때의 A의 역행렬이 유일해야 됨

  ㅇ 즉, A가 가역 행렬이면, 
     - Ax = b는, b에 대해 유일한 해 x = A-1b를 갖음


5. [행렬]  가역 행렬의 성질

  ㅇ  (A-1)-1 = A
     - A가 가역이면, A-1도 가역

  ㅇ  (AT)-1 = (A-1)T
     - A가 가역이면, AT도 가역이고, 
     - AT의 역행렬 (AT)-1은, A-1전치행렬 (A-1)T이 됨

  ㅇ  (cA)-1 = 1/c A-1

  ㅇ  (AB)-1 = B-1A-1
     - 가역행렬들의 곱은 가역이고, 
     - 그 역행렬은 각 역행렬들을 역순으로 곱한 것

  ㅇ  (An)-1 = (A-1)nAm An = Am + n

  ㅇ  (Am)n = Am x n

  ※ [참고] ☞ 가역행렬 정리 참조

행렬 종류
   1. 행렬의 종류   2. 정방 행렬   3. 삼각 행렬   4. 전치 행렬   5. 대각 행렬   6. 직교 행렬   7. 대칭 행렬   8. 복소수 행렬   9. 계수 행렬   10. 역 행렬   11. 가역 행렬   12. 특이 행렬   13. 치환 행렬   14. 블록 행렬  


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