1. 진자 (Pendulum)
ㅇ 중력,탄성력(장력) 등에 의해, 고정된 한 축이나 점의 주위를 주기적으로 진동하는 물체를 일컬음
2. 단 진자 (Simple Pendulum)
ㅇ 단 진자의 특징
- 1 자유도 시스템
. 단일 변수 θ 만으로 상태 기술 가능
- 비선형 운동방정식을 가짐
. 시간에 대해 삼각함수 형태의 비선형적인 변위를 갖음
- 운동 억제하는 손실(공기 마찰 등) 없음 즉, 보존계 가정 하에,
. 운동 에너지와 위치 에너지 사이 변환 반복
- 작은 각도 근사 하에서는,
. 단순 조화 운동(Simple Harmonic Motion)으로 근사 가능
* 단순 조화운동의 대표적인 例 임
. 즉, 복원력이 중심으로부터의 변위에 단순 비례할 때의, 조화 운동
ㅇ 이상적인 단진자의 단순화 가정
- 실은 질량이 없고 늘어나지 않음
- 공기 저항 등 외부 저항(감쇠력)은 없음
- 질점은 크기가 없는 점 질량
- 진자의 진폭은 작아서 {# \sin θ \approx θ #} 근사가 성립
* 즉, 늘어나지 않는 줄 끝에, 질량이 없는 질점이, 무 손실로써, 작은 각도로 좌우로 흔들거림
ㅇ 단 진자의 관측 가능한 파라미터 셋(3) : 진자의 진폭, 실의 길이, 진자의 주기
- 진폭 (A) : 초기의 각도 (작을수록 단순 조화운동 근사 가능)
- 실의 길이 (l) : 주기에 직접적 영향
- 주기 (T) : 진폭에는 영향받지 않으며 l(실의 길이)과 g(중력 가속도)에만 의존
* 즉, 실험 결과에 따르면,
. 이 중 진폭은, 진자의 주기와 관계 없으며,
. 진자의 주기는, 중력 가속도(g), 실의 길이(l)에 만 관련됨
ㅇ 단 진자의 주요 파라미터 : 주기 T 또는 진동수 f
[# T = \frac{2π}{ω_o} = 2π\sqrt{\frac{l}{g}} \\
f = \frac{1}{2π}\sqrt{\frac{g}{l}} #]
- (g : 중력 가속도, l : 끈의 길이)
ㅇ 단 진자 운동의 운동방정식 (2계 미분방정식)
- 일반 형태 (비선형)
[# \ddot{θ} + \frac{g}{l}\sin θ = 0 #]
- 작은 진폭 근사
[# \ddot{θ} + \frac{g}{l} θ = 0 #]
(작은 흔들 각도, {# \sin θ \approx θ #})
. 이 경우, 단순 조화 운동방정식과 동일
3. 이중 진자 (Double Pendulum)
ㅇ 두 개의 단진자를 연결한 계로써,
- 첫 번째 진자는 고정점에 매달려 있고,
- 두 번째 진자는 첫 번째 진자의 끝에 매달림.
ㅇ 이중 진자의 특성
- 2 자유도 시스템
. 두 개의 변수 즉, 각각의 진자 각도 θ₁, θ₂에 의해 상태 기술 가능
- 비선형 동역학 시스템으로, 초기 조건에 민감
- 카오스적 특성을 보임 (예측 불가능성)
ㅇ 운동방정식 표현
- 비선형 2차 미분방정식 2개로 구성
- 일반적으로 해석적 해는 불가능하고, 수치해석으로 해를 구함
ㅇ 구속력 (Constraint Force)
- 실에 의해 작용하는 장력이 구속력으로 작용
- 이 구속력은 운동 방향과는 수직으로 작용하며, 경로를 제한함