1. 상대 안정도 (Relative Stability) 또는 안정도 여유 (Stability Margin) 이란?
ㅇ 안정하다면 얼마나 안정한가(안정해야만 하는가)의 정도를 나타냄
ㅇ 상대 안정도의 고려 필요 이유 : (모델 불확실성에 기인함)
- `수학적 모델`과 `실제 플랜트` 간의 모델링 오차
ㅇ 상대 안정도의 평가
- 주로, 보드 선도, 나이퀴스트 선도를, 상대 안정도 평가에 사용
2. 상대 안정도의 특징
ㅇ 안정성의 `정도`를 정량적으로 나타냄
- 단순히 안정/불안정 판정을 넘어서, 얼마나 더 안정한지를 정량적으로 표현함
- 제어시스템의 상대적 안정성(안정도 비교 평가 등)을 보장하는 정도로써,
. `이득` 및 `위상`이 변화될 수 있는 최대 허용 범위
ㅇ 과도 응답 품질과 밀접한 관련
- (이득,위상) 이 두 항목 모두,
. 주로, 주파수응답 특성을 대상으로하는 항목이나,
. 또한, 이들은 시간응답 특성(과도응답,정상상태오차)과도 밀접한 관계가 있음
- 따라서, 상대 안정도가 낮으면,
. 오버슈트,진동,느린 응답 등 시간 응답 상의 품질 저하가 발생할 수 있음
ㅇ 모델 불확실성에 대비하는 지표 (강건성(Robustness) 판단의 기준)
- 실제 시스템은 이상적 수학 모델과 다르므로,
. 모델링 오차와 외란에도 안정성을 보장하는 여유가 필요함
- 즉, 시스템이 파라미터 변화나 외란에도 잘 견디는가를 판단하는 데 활용됨
ㅇ 안정도 - 성능 상충관계 존재
- 너무 큰 안정도 여유는 응답 속도 저하, 성능 감소로 이어질 수 있어,
적절한 여유 확보가 중요
ㅇ 상대 안정도의 정량화
- 이득 여유, 위상 여유 으로 구분 ☞ 아래 4.항 참조
※ 일반적으로,
- 이득 여유가 클수록, 외부 간섭이나 모델링 오차에 대해 더 견고한 시스템을 제공
. 보통, 6 dB 이상 권장됨
- 위상 여유가 클수록, 시스템은 더 안정적이며 진동이나 초과응답(Overshoot)이 줄어듬
. 보통, 30 ~ 60 ˚ 권장됨
3. 상대 안정도의 시각적 확인
ㅇ 보드 선도에서는, 위상이 -180°일 때의 이득을 확인하여 계산함
ㅇ 나이퀴스트 선도에서는, 원점에서 -1점을 기준으로 거리를 측정해 구할 수 있음
4. 상대 안정도의 정량화
ㅇ 이득 여유 (Gain Margin)
- 위상이 -180˚일 때의 이득과 0 dB의 차이
. 개루프 전달함수의 위상은 그대로이나 이득 만이 변할 때,
. 폐루프 전달함수의 안정성을 유지할 수 있는 최대 이득 변화
- 표현식 : GM = − 20 log |G(jωp)|
. ωp : 위상 교차 주파수 (위상이 -180˚가 되는 주파수)
- 값이 클수록, 안정도 여유가 높다고 판단됨
ㅇ 위상 여유 (Phase Margin)
- 이득이 0 dB 일 때의 위상과 -180˚의 차이
. 개루프 전달함수의 이득은 그대로이나 위상 만이 변할 때,
. 폐루프 전달함수의 안정성을 유지할 수 있는 최대 위상 변화
- 표현식 : PM = ∠G(jωg) + 180˚
. ωg : 이득 교차 주파수 (이득이 0 dB가 되는 주파수)
- 값이 작을수록, 진동성이 커지고, 과도응답에서 오버슈트(Overshoot)가 심해질 수 있음