1. 기하학 (Geometry)
ㅇ 어원
- 그리이스어 geometrein(geo : 땅, metrein : 측량하다)에서 유래함
. 원래는 토지의 측량을 의미하였으나,
. 점차 공간과 도형의 성질을 연구하는 수학 분야로 발전
ㅇ 공간 및 도형의 수학적 특성(형상,크기,위치 등 공간적 성질)을 따지는 학문 분야
- 점,직선,곡선,면,부피 및 그들 사이의 관계를 다룸
ㅇ 즉, 수학적 관계의 시각적 측면을 다룸
- 공간적 관계를 논리적으로 분석하고 표현하는 수학의 한 분야
2. 기하학 주요 구분
ㅇ 유클리드 기하학(Euclidean Geometry) : 유클리드 저서 `원론(Elements)`에 기초한 기하학
- 원론(Elements) : 그 이전 그리스 수학을 13권으로 집대성한 이론체계서
. 평면 기하학(피타고라스 학파) 1~6권, 입체 기하학 11~13권, 정수론 7~9권,
무리수론 10권
- 대부분의 실세계를 나타내는데에 이를 사용
. 초중등학교에서 이를 바탕으로 학습됨
ㅇ 사영 기하학(Projective Geometry) : 미술가의 투시 화법으로부터 시작된 실용 기하학
- 도형을 사영(射影, Projection) 변환시킬 때, 불변으로 유지되는 성질을 연구
- (원근법) 3차원 세계를 2차원 평면에 표현 ☞ 원근 투영 참조
. 르네상스 시각 예술가에 의해 시작됨
.. 3차원 실세계를 2차원 평면 곡면에 더욱 현실감있게 연출
. (데자로그,파스칼 창시, 폼슬레가 크게 발전시킴)
- 주요 용어
. 무한원점(소실점)
. 공점 (Concurrent) : 여러 개의 직선이 한 점에서 만남
. 공선 (Collinear) : 여러 점들이 한 직선 위에 있음
. 사영변환 (Projective Transformation)
- 컴퓨터 그래픽스, 컴퓨터 비전, 사진 측량 등에 널리 이용
ㅇ 아핀 기하학(Affine Geometry) : 유클리드 공준 1,2,4에 만 의존하는 기하학
- 결합적 성질에 의존하고 직교성이나 거리에는 의존하지 않음
ㅇ 해석 기하학(Analytical Geometry) / 좌표 기하학(Coordinate Geometry) / 카테시안 기하학
- 도형 성질을 기하학 보다는, 좌표를 이용한 방정식으로 풀어냄
. 좌표계를 도입함으로써,
.. 점을, 좌표라하는 실수의 순서쌍,
.. 직선,곡선,평면을, 방정식으로 표현하는 등
.. 도형의 성질을, 방정식의 형태로 설명함 (방정식의 해들이 기하학적 대상이 됨)
.. 例) 반지름 1인 구 : x2 + y2 + z2 = 1
. 이러한 개념은, 페르마(Fermat,1601~1665), 데카르트(Decartes,1596~1650)로부터 비롯됨
- 한편, 해석기하학의 많은 부분이 벡터 표기법에 의해 간단히 표현 가능 ☞ 벡터 참조
* 해석 기하학의 발명으로, 대수학과 기하학이 상호 연결됨
ㅇ 쌍곡 기하학(Hyperbolic Geometry) : 유클리드 기하학에서 평행성 공준을 부정한 기하학
- 한 직선 밖의 한 점에서 무수히 많은 평행선을 그을 수 있음
- 곡률이 음(−)인 공간을 설명
ㅇ 타원 기하학(Elliptic Geometry) : 평행선이 존재하지 않는 비 유클리드 기하학
- 모든 직선은 결국 서로 만남
- 구면기하학(Spherical Geometry)이 대표적인 예
ㅇ 시공 기하학(Space-time Geometry) : 아인스타인 상대성이론에 기초한 기하학
ㅇ 평면 기하학(Plane Geometry) : 평면에서 2 차원 도형(선,원,다각형 등)을 다룸
- 타원 기하학,포물(유클리드) 기하학, 쌍곡 기하학 등을 총칭하기도 함
ㅇ 입체 기하학(Solid Geometry) : 3차원 공간 도형(각기둥,각뿔 등) 및 평면 도형과의 각 등을 다룸
- 다면체, 구, 원기둥, 원뿔 등의 성질과 부피, 표면적, 공간에서의 거리와 각 등을 다룸
ㅇ 미분 기하학(Differential Geometry) : 미적분학을 확장시켜 공간 상의 곡선과 곡면을 연구
- 즉, 미적분을 이용하여 공간의 성질을 연구
ㅇ 벡터 기하학(Vector Geometry) : 기하학적인 문제를 벡터에 의해 다루는 분야
- 좌표 대신 벡터를 이용하여 점, 직선, 평면, 거리, 각도 등을 표현
* 해석기하학을 보다 간결하고 일반적으로 표현하는 방법으로 널리 사용됨
※ 분류 요약
- 공리에 따른 분류 : 유클리드 기하학, 사영 기하학, 아핀 기하학, 쌍곡 기하학, 타원 기하학
- 연구 방법에 따른 분류 : 해석 기하학, 벡터 기하학, 미분 기하학
- 연구 대상에 따른 분류 : 평면 기하학, 입체 기하학, 시공 기하학