Extreme Value, Extremal Value   극값

(2022-09-14)

Maximum Value, 최대값, Minimum Value, 최소값, Local Maximum, 극대점, 극대값, Local Minimum, 극소점, 극소값, FONC, SONC, SOSC


1. 극값  (Extreme Value, Extremal Value)

  ※ 크게, `절대 극값`, `상대 극값`으로 구분

  ㅇ 절대 극값/극점  :  (최대값, 최소값)   [대역/전역 극값]
     - 최대값/최댓값 (Maximum Value, Absolute Maxima, Global Maximum)
        . 주어진 함수값 중 최대인 값
        . (절대적 극대값, 전역적 극대값 이라고도 함)
     - 최소값/최솟값 (Minimum Value, Absolute Minima, Global Minimum)
        . 주어진 함수값 중 최소인 값
        . (절대적 극소값, 전역적 극소값 이라고도 함)
     * 쉽게, 구간 끝점을 포함해서, 최대/최소인 단일 값

  ㅇ 상대 극값/극점  :  (극대값, 극소값)   [국소 극값, 국지 극값] 
     - 극대점/극대값 (Local Maximum, Relative Maximum)
        . 국소적(지역적)으로 최대인 상대 최대값
     - 극소점/극소값 (Local Minimum, Relative Minimum) 
        . 국소적(지역적)으로 최소인 상대 최소값
     * 쉽게, 구간 끝점은 제외되고, 국지적으로 만 최대/최소가 되는, 다수의 점일 수 있음

     * 상대 극값의 성질상 구분
       - 강 국지적 극소/극대 (Strong Local Minima/Maxima)
          . 주변 내에서 유일하게 한 점으로 극소/극대화 가능
       - 약 국지적 극소/극대 (Weak Local Mminima/Maxima)
          . 주변 내에서 다수의 점들이 극소/극대화될 수 있음


2. FONC, SONC, SOSC  :  국지적 국소점이기 위한 조건들

  ㅇ FONC (First-Order Necessary Condition, 1계 필요조건)
     - 정상점이기 위한 필요조건. 즉, f'(x) = 0

  ㅇ SONC (Second-Order Necessary Condition, 2계 필요조건) 
     - 극소이기 위한 필요조건. 즉, f" ≥ 0 이면 극소일 수도 있음

  ※ 모든 국지적 국소점들은, 위 두 조건을 반드시 만족해야 함
     - 그러나, 이 둘을 만족하는 모든 점들이, 모두 국지적 국소점이 되지는 않음

  ※ 대부분의 최적화 문제들이, 국지적 국소점을 찾고 이를 국지적으로 최적으로 간주함
     - 그러나, 국지적 국소점이 전역적 국소점인지는 모름

  ㅇ SOSC (Second-Order Sufficient Condition, 2계 충분조건)
     - 극소이기 위한 충분조건. 즉, f'(x) = 0 이고 f" > 0 이면 극소 임


3. `극값의 성질을 나타내는 점들`에 대한 구분 요약

  ※ ☞ 극값 성질 참조
     - 정류점, 정상점 (Stationary Point, Stationary Value)
        . 미분계수가 0 인 점 (어떤 점 c에서 f'(c) = 0 즉, 접선이 수평인 점)
     - 변곡점 (Inflection Point) 
        . 증가에서 감소 또는 감소에서 증가로 바뀌는 점 (f'(c) = 0인 정류점에 포함됨)
     - 안장점 (Saddle Point)
        . 이변수 함수에서, 말의 안장 처럼, 극대,극소를 동시에 갖는 점
     - 임계점,임계값 (Critical Point, Critical Value) 
        . 통상, 구간 끝점, 정류점(극대점/극소점,변곡점), 특이점 등 급격한 변화 점들을 모두 일컫음
     - 특이점 (Singular Point)
        . 미분계수가 존재하지 않는 점 (주로, 뾰족한 극대점 또는 극소점 등)
          .. 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
                 심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등



Copyrightⓒ written by 차재복 (Cha Jae Bok)
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