1. 보통점 / 정상점 / 정칙점 (Ordinary Point, Regular Point)
ㅇ (연속적인 점)
ㅇ 해석적인 점
- x0를 포함하는 근방의 어떤 열린 구간 내에서 해석적인 점
- 분수 다항식이 양의 수렴반지름 R을 갖고,
. (x-x0)의 멱급수로 전개 가능
2. 특이점 (Singular Point)
ㅇ (불연속적인 점)
ㅇ 해석적이지 못한 점
- 함수 및 그 도함수들이 정의되지 못하는 점
- 분수 다항식이 양의 수렴반지름 R을 갖고,
. (x-x0)의 멱급수로 전개가 가능하지 못함
ㅇ 또는, 일반성을 잃은듯한 특이성을 갖는 점 (정의되지 못하는 점)
※ [참고] ☞ 극값 성질 (정류점,변곡점,안장점,임계점,특이점) 참조
- 정류점, 정상점 (Stationary Point, Stationary Value)
. 미분계수가 0 인 점 (어떤 점 c에서 f'(c) = 0 즉, 접선이 수평인 점)
- 변곡점 (Inflection Point)
. 증가에서 감소 또는 감소에서 증가로 바뀌는 점 (f'(c) = 0인 정류점에 포함됨)
- 안장점 (Saddle Point)
. 이변수 함수에서, 말의 안장 처럼, 극대,극소를 동시에 갖는 점
- 임계점,임계값 (Critical Point, Critical Value)
. 통상, 구간 끝점, 정류점(극대점/극소점,변곡점), 특이점 등 급격한 변화 점들을 모두 일컫음
- 특이점 (Singular Point)
. 미분계수가 존재하지 않는 점 (주로, 뾰족한 극대점 또는 극소점 등)
.. 例) 그 점에서 뾰족한 모서리를 갖거나, 접선이 수직하거나, 펄쩍 뒤거나,
심하게 요동치거나, 불연속적이거나 등
3. `미분방정식 해`와 `특이점`
ㅇ 미분방정식에서 특이점 근처의 해는, 정상점 근처의 해와 매우 다른 거동을 보임
ㅇ 2계 동차 선형 미분방정식에서 정상점,특이점
-
. 정상점 : x=x0에서 y,y'이 유한할 때, y〃이 유한한 경우
. 특이점 : x=x0에서 y,y'이 유한할 때, y〃이 무한한 경우
ㅇ 특이점의 구분
-
의 특이점 x=x0은 정칙(regular) 및 비정칙(irregular)으로 분류
- 이 분류는 표준형
의 계수함수(coefficient function) P(x),Q(x)에 의해 결정됨
ㅇ 특이점 구분에 따른 해법 적용
- 정칙 특이점 (Regular Singular Point)
. 미분방정식의 멱급수 해법을 적용할 수 있도록, 계수에서 해석적인 점
. 급수 전개점이 나쁘지않는 완만한 조건
. Frobenius 멱급수해법 적용
- 비정칙 특이점,본질적 특이점 (Irregular Singular Point)
. 급수 전개점이 완만하지 않고 더 빨리 발산