Linear Differential Equation, Nonlinear Differential Equation   선형 미분방정식, 비선형 미분방정식

(2021-08-17)

변수계수 미분방정식, 상수계수 미분방정식


1. 선형비선형 미분방정식의 구분선형 미분방정식 (Linear Differential Equation)
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수독립변수 만의 함수

     * 선형 미분방정식 형태 例)
        . 例 1)  4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex  :  2계 변수계수 선형 미분방정식
        . 例 2)  a2(x) d2y/dx2 + a1(x) dy/dx + a0(x) y = f(x)  :  2계 변수계수 선형 미분방정식비선형 미분방정식 (Nonlinear Differential Equation)
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌  지수를 갖을 때나, 
     - 계수종속변수를 포함하거나, 
     - 종속변수비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때

     * 비선형 미분방정식 형태 例)
        . 例 1)  xydy/dx + 2y = sin x  (y와 dy/dx가 곱의 형태로 1차가 아님)
        . 例 2)  d2y/dx2 + (dy/dx)2 = 1  (dy/dx의 제곱을 포함하여 1차가 아님)
        . 例 3)  (1-y)dy/dx + 3y = ex  (첫번째 항의 계수가 종속변수 y를 포함)
        . 例 4)  dy/dx + sin y = 0  (sin y 항이 비선형 함수임)
        . 例 5)  dy/dx = yn  (종속변수 y가 2차 이상의 지수항을 포함)


2. 선형 미분방정식의 형태 및 종류

  ㅇ `변수 계수`를 갖는 n계 선형 미분방정식 (n-order, linear)
       
[# a_n(x) \frac{d^n y}{d x^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x) y = g(x) #]
- 모든 계수가 x 만의 함수 - y 및 그 도함수는 1차(1승) 이내 만 가능 - 한편, an(x) = 1 이면, `표준형` 이라고 함 ㅇ `상수 계수`를 갖는 미분방정식 (constant coefficient)
[# \frac{d^n y}{d x^n} + a_1 \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}} + \cdots + a_{n-1} \frac{dy}{dx} + a_n y = R(x) #]
- 모든 계수상수 만의 함수 3. 제차 선형 미분방정식의 특징 (homogeneous,linear)중첩의 원리 - 각 개별 해 y1,y2,...,yk일차결합이 다시 그 해가 됨 . y = c1y1+c2y2+...+ckyk . 한편, 개별 해 y1의 임의 상수배 y = c1y1도 해가 됨 4. 선형 미분방정식의 풀이 ㅇ 해의 여러가지 성질을 특징지어서 풀 수 있는 여러 표준적인 방법들이 가능함 - 1계 선형 미분방정식의 풀이 例) . {# y' + p(x) y = g(x) #} . {# e^{\int p(x) dx} #}를 양변에 곱하면, . {# e^{\int p(x) dx} y'(x) + p(x) e^{\int p(x) dx} y(x) = g(x) e^{\int p(x) dx} #} . {# \frac{d}{dx} \left( y(x) e^{\int p(x) dx} \right) = g(x) e^{\int p(x) dx} #} . 양변을 적분하면, . {# y(x) e^{\int p(x) dx} = \int \left( g(x) e^{\int p(x) dx} \right)dx + C #} . 따라서, 일반해는, . {# y(x) = e^{- \int p(x) dx} \int \left( g(x) e^{\int p(x) dx} \right)dx + C e^{- \int p(x) dx} #} - 2계 이상의 고계 미분방정식의 풀이 . 상수계수인 선형인 경우에서 만 비교적 쉽게 풀이할 수 있음 . 변수계수이거나, 비 동차형이면 복잡해짐

선형시스템
   1. 선형   2. 비선형   3. 중첩의 원리   4. 선형 벡터공간   5. 선형 방정식   6. 선형 미분방정식   7. 선형 결합   8. 선형 연산  
미분방정식 기초
   1. 미분방정식   2. 미분방정식 구분   3. 미분방정식 용어   4. 미분방정식 풀이   5. 미분방정식 해   6. 해적분곡선,방향장   7. 양함수,음함수   8. 미분 연산자   9. 선형,비선형 미분방정식   10. 상 미분방정식  
1계 미분방정식
   1. 1계 미분방정식   2. 선형 미분방정식   3. 변수 분리형   4. 완전 미분형   5. 동차형  


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