1. 과도응답(고유응답)의 안정성 이란?
ㅇ 과도응답(고유응답)은,
- 입력 신호가 변화했을 때, 새로운 정상 상태에 도달하기 전까지의 응답으로,
- 이는, 시스템의 고유 특성(극점 등)에 의해 결정
ㅇ 과도응답의 안정성은,
- 시스템의 고유 극점 위치에 의해 결정되며,
- 모든 극점이 좌반면에 있어야, 응답이 감쇠하며 수렴하는 안정한 시스템이 됨
. 좌반면 실수 극점 → 느리게/빠르게 수렴하는 비 진동 응답 (안정)
. 좌반면 복소 극점 → 감쇠된 진동 (안정)
. 허수축 극점 → 지속 진동 (안정은 아님, 임계 안정)
. 우반면 극점 → 발산 (불안정)
ㅇ 설계 목표 => `안정성` + `원하는 과도응답 특성(빠르면서 진동 적음)`을 동시에 만족해야 함
- 시간응답 상에서 볼 때,
. 오버슈트,정착시간,상승시간 등 과도 특성(속응성)이 사실상 안정성과 직접 연관됨
- 결국, 안정한 계는,
. 무 외력이면 정지,
. 외력이 가해진 후 제거되면, 가급적 빨리 정지로 되돌아가야 함
2. 과도응답(고유응답)의 안정성(安定性) 구분
ㅇ (안정)
- 시간 관점 : 무한 시간 t → ∞ => 고유응답(과도응답) → 0
- 극점 위치 : LTI시스템의 폐루프 전달함수 극점이 s 평면 좌반면에 위치함
ㅇ (불안정)
- 시간 관점 : 무한 시간 t → ∞ => 고유응답(과도응답) → ∞
- 극점 위치 : LTI시스템의 폐루프 전달함수 극점이 s 평면 우반면에 위치함
ㅇ (임계 안정)
- 시간 관점 : 무한 시간 t → ∞ => 고유응답(과도응답)이 일정 진동 유지
- 극점 위치 : LTI시스템의 폐루프 전달함수 극점이 허수축 상에 분리된 쌍으로 위치
. (특히, 극점들이 중첩되면 불안정)
3. 과도응답(고유응답)의 안정도(安定度) 구분
ㅇ 절대 안정도 (Absolute Stability) : 절대적으로 안정한가 여부
- (전달함수) 시스템 전달함수의 분모 다항식(특성방정식)의 근(根)의 위치
. 안정한 시스템에서 극점(Pole) 위치
.. 전달함수 모든 극점이 s평면 좌반부에 있는 경우
. 불안정한 시스템에서 극점(Pole) 위치
.. 폐루프 전달함수 분모 다항식의 극점이, 복소평면(s평면) 우반면에 적어도
하나의 극점을 가지거나, 허수축 상에 중첩하는 극점이 있는 경우
. 따라서, 극점의 s평면상의 위치 => 과도응답 상태를 나타냄
- (상태방정식) 시스템 행렬의 고유값의 위치
. 시스템 행렬 A의 모든 고유값이 s평면 좌반부에 있는 경우
ㅇ 상대 안정도 (Relative Stability) : 안정하다면 얼마나 안정한가의 정도
- 원인 : 수학적 모델과 실제 플랜트 간의 모델링 오차
- 정량화 : 이득 여유, 위상 여유