Calculus of Variations, Variational Principle, Variational Method   변분법, 변분 원리

(2022-08-17)

Functional, 범함수


1. 변분법, 변분 원리 이란?

  ㅇ 변분법/변분학 (Calculus of Variations)
     - 특정한 어떤 적분값이 최대 또는 최소가 되는 함수를 찾는 문제를 다룸
        . 어떤 조건에 맞는 변수 값을 찾기 보다는, 
        . 적절한 함수곡선을 찾는 최대/최소 문제 또는 최적 문제

     - 변분법은, 미적분학의 일종이지만, 
        . 미적분학과는 달리, 함수 그 자체를 변수로 하는 범함수(Functional)를 다룸

     - 주로, 최대(maxima),최소(maxma)를 다루는 문제/이론  ☞ 최적 문제 참조
        . 例) 두 점 사이에 최단 거리를 주는 경로를 결정하는 것 등  ☞ 페르마 원리 참조

  ㅇ 변분 원리 (Variational principle)
     - 여러 과학법칙을 변분법과 관련시켜, 일반 원리로써 공식화한 것


2. 변분법 문제

  ㅇ 어떤 적분을 최소화 또는 최대화시키는 함수를 구하는 것
     - 아래의 `범함수 : 적분 범함수(Integral Functional)`의 값을, 최소화/최대화하는 문제
        
[#I = \int^{x_2}_{x_1} F(x,y,y')dx#]
- 여기서, . I는, 최소화/최대화시키고 싶은 량(量)정류점 참조 . F는, 제시된 변수들(x,y,y')로써, 알려지는/주어지는 함수 . 목표는, 적분 I가 최소화/최대화되도록 하는 곡선 y = y(x)를 구하는 것 ㅇ 미분적분학,변분법 문제 비교 - 미분적분학에서 극값 문제 . 주로 몇개의 독립변수의 함수의 극값을 찾는 문제 - 변분법에서 극값 문제 . 범함수 자체 극값을 찾는 문제 ㅇ 미분방정식,변분법 비교 - 통상적인 미분방정식적분하여(적분 형식으로 변환하여), 등가적인 변분법 문제로 변환 가능 3. 변분법의 수치적 방법 종류모멘트법 (MOM, Method of Moments) ㅇ 유한요소법 (FEM, Finite Element Method) 4. 변분법 용어 ㅇ 범함수 (Functional) - 함수를 변수로 갖는 함수 . 보통의 함수와는 달리, 독립변수가 숫자가 아닌 함수 즉, 함수의 함수 . 즉, 함수에 '함수'를 대입해서, 그에따라 결과값이 나오게되는 그 함수 - 함수 집합 위에서 정의되고, 그 값이 실수 또는 복소수를 취하는 함수 - 정의역이 함수들의 공간인 함수 . 통상의 함수는, 정의역실수집합에서 정의되나, . 범함수는, 정의역이 함수의 집합에서 정의됨 ㅇ 최대값(Maximum), 최소값(Minimum), 극값(Extremum) - 최대값 : 함수 f가 최대가 되는 값 - 최소값 : 함수 f가 최소가 되는 값 - 극값 : 함수 f가 최대 또는 최소인 값 ㅇ 정상값/정류점/정상점 (Stationary Point) - 어떤 점 c에서 f'(c) = 0 (접선이 수평인 점) . 최대점,최소점,수평 변곡점을 말함 - 대개, 정류점에서 극값을 갖음

최적화
   1. 최적 문제   2. 최적화 문제 구분   3. 최적화 문제 용어   4. 최적화 문제 표현   5. 변분법   6. 라그랑주 승수법   7. 비용 함수   8. 선형계획법   9. 최적화 알고리즘   10. 손실 함수  


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