Row Echelon Form, Reduced Row Echelon Form   행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴

1. 행 사다리꼴 / 행제형(行梯形) / 에설론 형태 (Row Echelon Form, REF)

  ※ 행렬이, 다음 2가지를 만족하는 형태
     - ①  선행 성분 아래 성분들은, 모두 `0` 임
        . 즉, 각 행의 선행 성분은, 그 아래 행의 선행 성분 보다 왼쪽에 위치토록 함
           .. [참고] 선행 성분 (leading entry) : 각 행에서 최초의 `0`이 아닌 성분
     - ②  성분이 모두 0 인 행은, 행렬의 맨 아래쪽에 위치 함

  ㅇ (REF 구조)   
[# \begin{bmatrix} \blacksquare & * & * & * \\ 0 & \blacksquare & * & * \\ 0 & 0 & 0 & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} #]

  ㅇ (例)    


2. 기약 행 사다리꼴 / 소거 행제형 (Reduced Row Echelon Form, RREF)

  ※ 행렬이, 행 사다리꼴을 만족하고, 동시에 다음 2가지를 추가적으로 만족하는 형태
     - ①  각 행에서 처음으로 `0`이 아닌 선행 성분은 `1`임
     - ②  각 행의 선행 성분 `1`의 위/아래 성분이 모두 `0`임

  ㅇ (RREF 구조)    
[# \begin{bmatrix} 1 & 0 & * & 0 \\ 0 & 1 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} #]

  ㅇ (例)    


3. 기약 행 사다리꼴(RREF)의 성질

  ㅇ 포함 관계
     - 행 사다리꼴 행렬(REF)은 기약 행 사다리꼴 행렬(RREF)이 될 필요조건이지만,
     - 그 역은 성립 안함

  ㅇ RREF의 유일성
     - 행렬에 기본행연산을 하면,
        . 여러 다른 행 사다리꼴을 얻을 수 있지만,
        . 기약 행 사다리꼴은 오직 하나만 얻게됨

  ㅇ 해의 판별
     - RREF를 통해, 선형연립방정식의 해가,
        . 유일해인지, 무수히 많은 해인지, 아니면 불능(해 없음)인지를,
        . 쉽게 판단할 수 있음

  ㅇ 기저(Basis) 결정
     - 행렬 A의 열공간(Column Space)이나 영공간(Null Space)을 찾을 때, 
        . RREF 형태에서의 피벗(Pivot) 위치가 결정적인 역할을 함

  ㅇ 단위 행렬로의 귀착
     - 가역 행렬을 기약 행 사다리꼴로 만들면, 단위 행렬이 됨
        .  Ek ... E2 E1 A = In (E : 기본행렬)


4. 행 축약 / 행 줄임 / 행 축소 (Row Reduction)

  ㅇ 행렬을 그와 행동치(Row Equivalent)인 기약 행 사다리꼴로 변형시키기 위해, 
     - 기본 행 연산을 적용하는 과정을 말함

  ㅇ 결국, 행 축약하면,
     - 정방 행렬(첨가 행렬)이 상 삼각행렬로 바뀌게됨  (☞ LU 분해 등 참조)

  ㅇ 행 축약 (Row Reduction) 응용 알고리즘
     - 정방 행렬(첨가 행렬)을 REF 및 RREF로 만드는 체계적인 절차를,
     - `가우스 소거법` 및 `가우스 조르단 소거법`이라고 함
        . 전향 소거 : 행렬을 REF 또는 RREF로 만드는 과정  (형태 변환)
        . 후향 대입 : REF 에서만 사용  (해 계산)
           .. 아래 행부터 위로 올라가며 (역방향으로) 미지수 값을 순차적으로 계산
           .. RREF 에서는 이미 해가 바로 보이므로 후향 대입 불필요 (가우스 조르단 소거법인 경우)