Basis   기저 (Basis), 기저 집합

(2024-01-31)

Basis Vector, 기저 벡터, Basis Function, 기저 함수, Basis Signal, 기저 신호, Standard Basis, 표준 기저, Orthogonal Basis, 직교 기저, Orthonormal Basis, 정규직교 기저


1. 기저 (基底, Basis) 수학적 공간생성하는 최소의 집합
     - 가장 적은 수의 벡터로써, 선형 독립을 이루며, 벡터 공간생성 가능

  ㅇ 벡터공간 내에서 기저 벡터집합은,
     - ① 선형 독립이고, ② 전체 공간생성(Span) 하게 됨

  ㅇ 기저의 특징
     - 동일 공간에서도 기저를 취할 수 있는 경우는 여러가지 임


2. 기저 벡터, 기저 함수  벡터 공간 내 임의의 벡터,함수를, 선형독립인 기저 벡터,기저 함수들의 선형결합으로 표현 가능

  ㅇ 기저 벡터(Basis Vector) 
     - 주어진 벡터공간(벡터 부분공간)을 생성할 수 있는 기저 요소를 이루는 벡터

        . 벡터공간 V의 생성 : {# \mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots
                                              +c_n\mathbf{v}_n #}
        . 기저 벡터집합 : {#\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}#}
        . 여기서, 기저 벡터의 수 = 차원 = n

     * 차원 (Dimension) 이란?  => 기저 벡터의 수
        . 주어진 벡터공간(벡터 부분공간)을 생성하는데에,
        . 수많은 벡터들이 가능하지만, 
        . 그 공간을 생성하는데 필요한 최소개의 기저벡터의 수는 일정함

  ㅇ 기저 함수(Basis Function) 또는 기저 신호(Basis Signal)
     - 주어진 함수공간/신호공간을 생성할 수 있는 기저 요소를 이루는 함수/신호

     - N차원 함수공간에서 기저함수에 의한 함수 표현 例
         
[# s_i(t) = \sum^{N}_{j=1} s_{ij} \, φ_j(t) \quad (i = 1, \cdots \ , M) #]
. 함수 집합 : {# \{ s_i(t) \; | \; i = 1, \cdots ,M \} #} . 정규 직교 기저 함수 : {# \{ φ_j(t) \; | \; j = 1, \cdots ,N \} #} - 푸리에 변환에서 기저 함수 {# φ_j(t) #}의 例 : 정현파함수(또는 복소지수함수) 등 3. `표준 기저`, `직교 기저`, `정규직교 기저` 비교 ㅇ 표준 기저 (Standard Basis) => 표준 단위벡터 (Standard Unit Vector) * 좌표계 표현에서, 각 축을 대표하는 벡터들 - 많은 가능한 기저들 중 성분 1개 만이 1 이고, 나머지 성분이 모두 0 인 표준적인 벡터 . 例) R3의 표준기저 : e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) * Rn의 임의의 요소는, 이 표준기저의 선형결합으로 나타낼 수 있음 . 例) x = x1e1 + ... + xnen직교 기저 (Orthogonal Basis) * 통상, 기저에 속한 벡터들이 서로 수직이 아니므로, . 임의 기저들로 새로운 좌표계 등을 나타낼 때 불편함 - 기저이면서 직교하는 부분집합 . 서로다른 두 벡터가 항상 수직인 벡터들 ㅇ 정규 직교 기저 (Orthonormal Basis) - 기저이면서 직교하고 그 크기가 모두 1인 부분집합 . 각 벡터가 모두 단위벡터이고 서로 수직인 벡터들 .. 例) 정규직교기저의 하나의 사례 => 표준 기저 4. 좌표계의 표현 ㅇ 통상적인 좌표계 표현 (유클리드 공간) ☞ 직교 좌표계 참조 - 좌표축이 미리 정해진/고정된, 일반적으로 사용되는 좌표계 . 각각의 축 또는 축평면이 직교성을 유지하는 등 ㅇ 일반화된 벡터공간에서 좌표계 표현 - 기저 벡터에 의한 좌표계 표현 ☞ 기저벡터 좌표계 참조 . 좌표계를 고정된 좌표축이 아닌, 기저벡터를 사용하여 보다 적절하게 규정 가능함 - 기저 또는 기저벡터가 좌표벡터의 개념을 통해 좌표를 규정할 수 있음 ☞ 좌표벡터 참조 ※ 한편, - 표준 기저와 좌표계 간에 밀접한 관계 있음 .
[# \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 \quad \left( \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) #]
- 좌표 변환은, . 행렬 곱셈(좌표변환 행렬), 변수 변환 등과 동등

벡터공간 특성
   1. 기저   2. 차원   3. 랭크   4. 생성   5. 1차 결합   6. 1차 독립  


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