Sample Variance   표본 분산

1. 표본 분산 (Sample Variance)

  ㅇ 표본들이 나타내는 표본분포 상에서의 분산
     - 표본 분산 = 표본들의 분산에 대한 추정치 = 표본분포의 분산


2. 표본 분산의 계산법

  ㅇ 표본 분산 = (표본 편차 제곱의 평균)                                    ☞ 변동성 참조
               = (표본 편차 제곱의 합) / (자유도) 
               = (표본 변동) / (자유도)


3. 표본 분산의 표현식

  ㅇ 표본 분산의 표현식
       
[# S^2 = \frac{1}{n-1} \sum^n_{i=1} \left( X_i - \overline{X} \right)^2 \\
            \quad = \frac{1}{n-1} \left( \sum^n_{i=1} X_i^2 - n\overline{X}^2 \right) #]
     - {#S^2#} : 표본 분산, {#\overline{X}#} : 표본 평균, n: 표본 크기(갯수), (n-1) : 자유도

  ※ 한편, 표본 분산 {#S^2#}은, 모 분산 {#σ^2#}과는 표현식이 다름
       
[# σ^2 = \frac{\sum\limits^{N}_{i=1} (x_i-μ)^2}{N} #]
     - N : 모집단 개수, μ : 모 평균


4. 표본 분산의 특징

  ㅇ 표본 분포는 모집단 분포 보다 변동성이 작아짐
     - 왜냐하면, 매 표본 평균이 그 나름 중심위치를 나타내는 대표값이기 때문임

  ㅇ 따라서, 정규분포를 갖는 모집단이라도,
     - 여기서 추출되는 표본의 표본 분산은 정규분포를 따르지 않음

  ㅇ 이때는, 카이제곱 분포를 갖음
     - 즉, 모집단이 정규분포를 따른다면,
        . (n-1)S2/σ2은 자유도 n-1인 카이제곱 분포(χ2 분포)를 따름
        . X = (n-1)S2/σ2 ~ χ2n-1


5. 표본 분산과 모 분산 간의 관계

  ㅇ 표본 분산은, 모 분산에 대해 좋은 점추정량 임     ☞ 점 추정량 선택기준 참조

  ㅇ 표본 분산과 모 분산 간의 통계적 관계
     - 표본 분산의 기대값은 모 분산이 됨 : E[S2] = σ2
     - 모집단이 정규분포를 따른다면, V = (n-1)S2/σ2 ~ χ2n-1