Expected Value, Expectation   기대치, 기대값

(2022-06-29)

기댓값


1. 기대값 (Expectation)

  ㅇ 기대값은 단순한 평균 그 이상으로 일반화된 개념임
     - 예측/추정하려는 어떤 특정값이 아닌, 기대되는 예측치들의 평균값

  ㅇ 즉, 확률적 분포 개념이 포함된 평균
     - 확률분포의 성격을 결정짓는 확률평균치
     - 확률변수가 나타내는 확률분포에서 중심 경향/위치 (즉, 대표적인 값)
     - 확률변수에 취해지는 확률가중평균 : 
[# E[X] = \sum^n_{i=1} x_i P(x_i) #]
2. 기대값, 평균 비교 ㅇ 기대값(Expected Value) - 이따금, 평균(Mean Value)과 같은 의미로 잘못 사용됨 - 기대값은 모집단에 대한 통계파라미터 중 하나로써 기대되는 예측치들의 평균값을 의미 . 즉, 모집단 확률분포모수에 대한 무게중심으로 기대되는 값 ㅇ 결국, - 기대값은 매 표본 집단 마다 얻어지는 표본 평균들에 대한 일반화임 . 시행횟수 n -> ∞ 이면, 표본평균모집단(확률변수)의 기대값에 수렴대수의 법칙 ㅇ (기대값,평균 표기 관례) - 확률변수 X에 대한 기대값(Expectation) 표기 : E[X] 또는 < X > - 확률변수 X에 대한 평균(Mean) 표기 : {# \overline{X} #} 또는 {# μ_X #} 3. 기대값 정의 식확률변수에 의한 확률밀도함수,확률질량함수 등과 관련된 적분식(integral) 또는 합(summation)으로써 정의/계산됨
[# E[X] = \left\{ \begin{array}{ll} \sum_i x_ip_{{\tiny X}}(x_i) & (discrete) \\ & \\ \int xf_X(x)dx & (continuous) \end{array} \right. #]
이산 확률변수의 기대값
[# E[X] = \sum_{x_i \in S_X} x_i p_X(x_i) #]
연속 확률변수의 기대값
[# E[X] = \int^{\infty}_{-\infty} x f_X(x) dx #]
※ [참고] ☞ 확률 모멘트 (1차 모멘트) 4. 확률변수 함수 g(X)의 기대값 ㅇ 단일 확률변수 함수의 기대값 - (이산)
[# E[g(X)] = \sum_{x_i \in S_X} g(x_i)\;p_X(x_i) #]
- (연속)
[# E[g(X)] = \int^{\infty}_{-\infty} g(x)\;f_X(x)\;dx #]
다변량 확률변수 함수의 기대값 - (이변량)
[# E[g(X,Y)] = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} g(x,y)\;f_{X,Y}(x,y)\;dxdy#]
- (다변량)
[# E[g(X_1,\cdots,X_N)] = \int^{\infty}_{-\infty} \cdots \int^{\infty}_{-\infty} g(x_1,\cdots,x_N)\;f_{X_1,\cdots,X_N}(x_1,\cdots,x_N)\;dx_1\cdots dx_N#]
5. 조건부 기대값 (Conditional Expected Value)
[# E[X|B] = \int^{\infty}_{-\infty} x\;f_X(x|B)\;dx #]
6. 기대값 관련 성질확률변수와 그 평균과의 차이의 기대값은, 영(0)이 됨
[# E[X-μ_X] = 0 #]
확률변수의 가중 합의 기대값은, 각 확률변수의 기대값을 가중한 합과 같음
[# E[aX+b] = aE[X]+E[b] = aE[X]+b #]
[# E\left[\sum^N_{i=1}a_iX_i\right] = \sum^N_{i=1} \int^{\infty}_{-\infty} \cdots \int^{\infty}_{-\infty} a_ix_if_{X_i,\cdots,X_N}(x_1,\cdots,x_N)dx_1 \cdots dx_N = \sum^N_{i=1}a_iE[X_i]#]
ㅇ 기대값과 분산과의 관계는,
[# Var[X] = E[X^2] - μ^2_X #]
- Var[·] : 분산, E[·] : 기대값, μ : 평균



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