1. 표본 평균 (Sample Average)
ㅇ 주요 표본 통계량(표본 평균,표본 분산,표본 비율 등) 중 하나
ㅇ 표본 추출 때 마다 구해지는 표본 평균 : [# \overline{X} = \frac{1}{N} \sum^N_{i=1} X_i #]
- N : 표본 갯수 (표본 크기) (매 표본 추출 때 마다 취하는 표본의 수/크기)
- Xi : 표본 추출 때 마다 달라지는 확률변수
. 그 각각이 동일한 확률분포를 갖는 상호독립적인 확률변수 임 (즉, iid)
2. 표본 평균의 유사용어
ㅇ 표본 평균 : {# \overline{X} #}
ㅇ 표본 평균들의 평균 (표본 평균의 표본 분포 상의 평균) : {# μ_{\overline{X}} #}
- 또는, 표본 분포 상의 평균에 대한 기대값 : {# E({\overline{X}}) #}
- 또는, 표본들의 평균에 대한 추정치 : {# \hat{\overline{X}} #}
※ 문맥 상 구분짓기가 분명하다면, 위 명칭들을 자주 혼용하곤 함
3. 표본 평균의 활용
※ 표본 평균은, 모 평균을 추정,검정하는데 다음과 같은 바람직한 통계적 성질들을 갖음
- 즉, 불편성, 일치성, 유효성 을 갖음
ㅇ 따라서, 모 평균의 추정(추정량),검정(검정통계량)시에, 표본 평균을 사용함
5. 표본 평균의 성질
ㅇ 표본 평균이라는 표본 통계량은 확률변수 임
- 모집단으로부터 동일 크기로 취해지는 기회 표본은 무한히 많게되며,
- 그때마다 표본 평균은 일정하지 않고,
- 매 표본 마다 무작위로 변하는 확률변수로 간주함
ㅇ 표본 평균의 표본 분포는 모집단 분포 보다 변동성이 작아짐
- 매 표본평균이 그 나름 중심위치를 나타내는 대표값들이기 때문임
6. 표본 평균의 특징
ㅇ 통상, 표본평균이 나타내는 표본분포의 기대값은,
- 모집단의 평균(모평균)에 근접하리라 짐작됨
ㅇ 더욱이, 표본 크기가 커지면,
- 표본평균은 모집단의 평균(모평균)에 점점더 수렴함 ☞ 대수의 법칙 참조
ㅇ 결국, 모집단 확률분포가 정규분포를 따르지 않아도, 표본크기가 커지면,
- 표본분포는 빠르게 정규분포와 가까운 형태를 취함 ☞ 중심극한의 정리 참조
. 표본크기 n이 크면, 표본평균 X-의 확률분포는,
. (모 평균 μ, 표본 분산 σ2/n, 표준 오차 σ/√n)인 정규분포에 가까워짐
* 즉, 표본분포의 확률적 수렴(=> 정규분포화)을 나타내는 정리가 중심극한정리 임
. 例) 심지어, 모집단 확률분포가 정규분포가 아닌 균등분포일 때도,
.. 표본평균의 표본분포는 정규분포화 하게 됨
* 요약하면,
. 모집단이 정규분포를 따르면, 표본평균도 정규분포를 따르고,
. 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도,
.. 표본크기가 크면 (n≥30), 표본평균의 표본분포가 정규분포에 근사적이라고 봄
ㅇ 한편, 단일 모집단이 아닌 두 모집단의 비교에서, 두 표본평균의 차이도, 이와 유사함