1. 물질파의 파동함수 ψ(r,t) 이란?
ㅇ 양자역학에서, 물질 입자 파동(물질파)의 위치 상태를, 확률적으로 표현한 파동함수
- 시간,공간에 따라 확률적으로 변하는 진폭 (확률 진폭)
ㅇ 슈뢰딩거 방정식을 풀면, 이러한 파동 함수를 얻게 됨
ㅇ 원자를 묘사할 때는, 이 파동함수를 오비탈(궤도함수) 이라고 함
2. 파동함수의 특징
ㅇ 파동함수는, 확률적으로 해석함
- 특정 시간,장소에서, 구한 파동함수의 `절대값 제곱`은,
. 그 순간,위치에서, 입자를 발견할 `확률적 크기` 임
* 즉, {#p(\mathbf{r},t) = |ψ(\mathbf{r},t)|^2#}
. {#p#} : 확률밀도함수 (발견할 확률적 크기 : 물리적인 의미를 갖음)
. {#ψ#} : 물질파 파동함수 (확률적 진폭 : 수학적인 의미만 갖음)
ㅇ 파동함수는, 복소수 함수 임
- {#ψ = A + jB#}
* 즉, 확률밀도는, 파동함수 {#ψ#}와 그 켤레 복소수 {#ψ^{*}#}의 곱으로 계산되어짐
. {#ψ ψ^{*} = | ψ |^2 = p#}
ㅇ 파동함수의 규격화(정규화) 조건
- 반드시 공간 어딘가에 존재해야 함
* 즉, 확률 = 1
[# \int^{\infty}_{-\infty} p\,dV = \int^{\infty}_{-\infty} |ψ|^2 dV
= \int^{\infty}_{-\infty} ψ ψ^* dV = 1 #]
3. 파동함수의 수학적 가정
ㅇ 시간과 공간의 함수
- 시간(t),공간(x,y,z : {#\mathbf{r}#})에 의존하는 복소수 함수
ㅇ 연속성
- {#ψ#} 및 그 미분은, 시공간적으로 연속(continuous), 일가함수/단일값(single valued) 임
ㅇ 유한성
- 공간 어느 점에서도 유한해야 함
- 즉, {#\int|ψ|^2 dV#} 가 유한(finite) 함
ㅇ 경계 조건
- 무한대 공간에서 영 값으로 수렴
- 즉, {#ψ#}는, 극한(x,y,z → ∞ )에서 0으로 수렴하도록, 단조감소하는 함수이어야 함
※ 이러한 가정들이 만족되지 않으면, 물리적으로 실현될 수 없는 환경(조건)에 해당 됨
- 이러한 제한된 조건을 넣고, 슈뢰딩거 방정식을 풀면,
- 허용 가능한 에너지 상태 E가 특정 값들만 가능 (= 양자화)
4. 파동함수의 물리/화학적 해석
ㅇ 파동함수 {#ψ(r,t)#}는, 입자의 운동 상태와 상호작용을 나타내는 중요한 매개체로써,
- 이를통해 에너지 준위,위치 확률 분포,결합 구조 등 다양한 물리적/화학적 특성으로 해석 가능
- 원자 내 전자의 운동 상태에 대한 정보로써,
. 3종류의 양자수(n,l,ml) 및 보어의 원자반지름 등의 정보를 알 수 있음
- 화학 결합에서는, 분자 궤도함수에서, 전자 밀도와 화학 결합 특성을 설명하는 등