미분방정식 용어

(2022-07-20)

degree of differential equation, 차수 , order of differential equation, 계수


1. 미분방정식 주요 용어미분방정식의 표현 형태
     - 양함수형 (explicit form) 
        . 독립변수종속변수가 분리된 형태
           .. 例)  y′= F(x,y)

     - 음함수형 (implicit form)
        . 독립변수종속변수가 분리되지 않는 형태
           .. 例)  F(x,y,y′) = c

  ㅇ 계수 (order) 및 차수/수/지수 (degree)
     - 계수(階數, order)  : 미분방정식에서  최고계 도함수(미분)의 계수
        . n계 미분방정식
           ..   F(x,y,y',...,y(n)) = 0  또는  y(n) = G(x,y,y',...,y(n-1))
        . 1계 미분방정식  :  1계 도함수를 갖는 미분방정식
           ..   F(x,y,y') = 0 ,  y'+ xy =0

     - 차수(次數, degree) : 미분방정식에서  최고계 도함수(미분)의 멱(冪)/지수
        . 例) 2차 미분방정식 :  최고계 도함수에서 2차  지수를 갖는 미분방정식
           ..   (y')2 + xy =0

     * 例) {# \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)^3 + 3y \left( \frac{dy}{dx} \right)^5
              + y^2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 4x #}  :  2계 3차 미분방정식

     * 단, 공학에서,
        . 1계 미분방정식, 2계 미분방정식으로 표현되는 시스템을 말할 때는,
        . 관례적으로 1차 시스템, 2차 시스템 이라고 지칭함       ☞ 시스템 차수 참조

  ㅇ 자율 미분방정식 (autonomous)
     - 시간에 따라 변하지 않는 물리 법칙 등을 모델링하는데 사용
        . 독립변수들이 겉으로 드러나 있지 않는 1계 미분방정식 형태
        . 형태)  dy/dt = f(y)

     * 例)
        . 지수적 증가  :  dy/dt = ry   (y의 변화율/증가율이 현재 y값에 비례적)
        . 로지스틱 증가  :  dy/dt = h(y)y   (변화율/증가율 자체가 현재 y값에 따라 달라짐)
           .. 생물의 증식과정, 경제의 발전과정 등을 근사적으로 설명하는 데 사용됨
           .. 벨기에 수학자 P. F. 베르하르스트(Pierre François Verhulst)에 의해 1838년에 제안됨
           .. 성장 속도는 현재 상태포화 상태에 멀수록 빨라지고, 가까울수록 늦어짐
        . 임계 한계  :  dy/dt = -r(1-y/T)y

  ㅇ 임의 상수 (적분 상수 : Integration Constant)
     - 변수 x,y에 의존하지 않는 고정된 실수

  ㅇ 미분방정식 해
     - 일반해 : 계수 만큼 독립적인 임의 상수(적분 상수)를 갖는 해
        . 임의의 상수를 포함한  함수
     - 특수해 : 일반해의 임의 상수에 특정 값을 대입하여 나온 해
        . 임의의 상수에 주어진 조건을 대입해 만족하는  함수
     - 특이해 : 일반해에 어떠한 임의 상수를 지정하여도 얻어질 수 없는 해
        . 미분방정식으로부터 얻을 수 없는  함수

미분방정식 기초
   1. 미분방정식   2. 미분방정식 구분   3. 미분방정식 용어   4. 미분방정식 풀이   5. 미분방정식 해   6. 해적분곡선,방향장   7. 양함수,음함수   8. 미분 연산자   9. 선형,비선형 미분방정식   10. 상 미분방정식  


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