Realization of Discrete-time System, Realization of Digital Filter   이산시스템 구현 구조, 디지털 필터 구현 구조

1. 이산시스템의 표현식의 종류                                        ☞ 이산 시스템 표현 참조

  ※ 이산시스템의 표현식이 여럿인 이유  :  서로 다른 관점에서 이산시스템을 다루기 위함

  ㅇ 임펄스응답 (컨볼루션 합 표현)  :  시간 영역 관점
     - S/W에 의한 고속 컨볼루션 알고리즘 구현에 이용됨
  ㅇ 차분방정식  :  샘플 간 관계 관점
     - 주로, 직접형 구현에 이용됨
  ㅇ 전달함수    :  주파수 영역 (또는 z 영역) 관점
     - 주로, 종속형, 선형위상형, 주파수 임펄스형 구현에 이용됨


2. 이산시스템의 구현 상의 특징

  ※ 동일 표현식에서도, 여러 다른 구조로 구현이 가능
     - 또한, 구조 마다 성능상의 차이가 있게 됨
        . 소요 연산량, 메모리 용량, 감도, 유한 어장 효과 등

  ※ 구현 (Realization), 실현 (implementation) 비교
     - 구현 : 기초 연산소자(곱셈기,덧셈기,지연소자)들이 상호연결된 블록선도 내부 구조를 선택 구현
     - 실현 : 선택 구현한 내부 구조를, 구체적인 H/W,S/W (DSP,ASIC 칩)로써 실현시키는 것

  ※ 필터 차수가 높을수록, 메모리 소요 용량이 커지며, 구현 비용이 증가함


3. 이산시스템의 구현 구조의 종류

  ㅇ FIR 시스템 
     - 표현식 : 전달함수, 차분방정식, 콘볼루션(임펄스응답에 의함) 표현식 모두 필터 구현 가능
     - 구현 구조 형태 : 직접형, 종속형, 선형 위상형, 주파수 임펄스형, 격자형, 고속 콘볼루션

  ㅇ IIR 시스템
     - 표현식 : 전달함수, 차분방정식 표현식 만 필터 구현 가능
     - 구현 구조 형태 : 직접형, 종속형, 병렬형, 격자형

  ※ [요약]
     - 직접형  :  `컨볼루션 합`, `차분방정식` 표현식을 그대로 기본 소자를 이용, 단순 구현한 형태
        . (FIR : Feedforward, IIR : Feedforward + Feedback)
     - 종속형  :  전달함수를 여러 개의 1차 또는 2차 부분 필터로 분해, 직렬(종속)로 연결한 구조
        . 안정성 및 수치 정밀도가 향상됨
     - 병렬형  :  전달함수를 여러 개의 부분분수항으로 전개, 각 부분 필터를 병렬로 연결한 구조.
        . 제어 및 해석이 용이
     - 격자형  :  반사계수를 이용해 단계적(계층적)으로 구성된 구조
        . 수치적 안정성이 높고, 적응 필터 구현에 적합함
     - 선형 위상형  :  임펄스응답의 대칭성을 이용하여, 구조를 단순화시킨 FIR 필터 구현 형태
        . 위상 왜곡이 없고, 계산량 절감 가능
     - 주파수 임펄스형  :  주파수 샘플링법으로 설계된 FIR 필터를 FFT/IFFT 기반으로 구현하는 구조
        . 필터 계수들이 주파수 영역에서 직접 결정됨
     - 고속 콘볼루션  :  FFT 기반의 곱셈 연산을 이용, IIR 필터를 빠르게 구현
        . 연산량 대폭 절감


4. 직접형 (Direct Form)

  ㅇ 직접형 이란?  :  (표현식 그대로 구현)
     - `컨볼루션 합`, `차분방정식` 표현식을 그대로 기본 소자를 이용하여, 단순 구현한 형태
       

  ㅇ 직접형 Ⅰ (Direct form Ⅰ)  =  비 기본형, 비 표준형 (Non-canonic form)
     - 시스템 표현식에 대한 관찰에 의해 직접 얻을 수 있는 구현형태
     - 탭 지연선 구조 (통상, 직접형 FIR에 적용)
        . 시간 지연기들을 일렬로 연결한 후, 
           .. 각 시간 지연기의 출력단 마다 탭(┬)을 내고,
           .. 이에 곱셈기를 달아, 필터 계수를 곱하여 더하는 구조      ☞ 참조
        . 출력 궤환이 없는 구조
     - 입력부와 출력부를 구분시킨 구조
        . 지연기를 입력부,출력부 모두에 사용함
        . 출력 궤환이 있는 구조

  ㅇ 직접형 Ⅱ (Direct form Ⅱ, Canonic Direct form)  =  기본형, 표준형 (Canonic form)
     - 지연소자를 최소화시킨 구현형태
        . 지연소자 감소 => 시스템 소요 기억용량 감소로 비용 감축 도모 가능


5. 종속형, 직렬형 (Cascade Form)

  ※ 전달함수를, 여러 개의 1차 또는 2차 부분 필터로 분해하여, 직렬(종속)로 연결한 구조
     - 안정성 및 수치 정밀도가 향상됨

  ㅇ 전달함수 표현
     - FIR 필터 : 
[# H(z) = \frac{N(z)}{D(z)} = \sum^{N-1}_{k=0} b_k z^{-k} #]
     - IIR 필터 : 
[# H(z) = \frac{N(z)}{D(z)} 
                          = \frac{\sum^M_{k=0} b_k z^{-k}}{1 - \sum^N_{i=1} a_l z^{-l}}
                          \approx \frac{\sum^N_{k=0} b_k z^{-k}}{1 - \sum^N_{k=1} a_l z^{-l}} #]

  ㅇ 전달함수를 인수분해하여, 
     - 실수 계수를 갖는 2차 전달함수들의 곱으로 변환시킨 후,
     - 각각을 직접형으로 구현하고, 
     - 이들을 종속 연결한 구조

  ㅇ 만일, 
     - 임펄스응답 h(n)이, 실수이면, 
     - 전달함수 H(z)의 근은, 복소수 공액으로 나타나고, 
     - 각각을 실수 계수 2차 방정식화시키고,
        . FIR 필터 : 
[# H_k(z) = (1+b_{1,k}z^{-1}+b_{2,k}z^{-2}) #]
        . IIR 필터 : 
[# H_k(z) = \frac{1+b_{1,k}z^{-1}+b_{2,k}z^{-2}}
                                      {1+a_{1,k}z^{-1}+a_{2,k}z^{-2}} #]
     - 이들이 연속된 곱으로 필터 차수 만큼 표현 가능

  ㅇ 한편, IIR 필터에서,
     - 전달함수를 인수분해하여, 2개 (분자,분모) 곱으로 표현 가능 (biquad의 곱 형태)
     - 2개의 서브시스템으로 구분 : (1/분자다항식) x (분모다항식)

    


6. 병렬형 (Parallel Form)

  ㅇ 부분 분수의 합 형태
     - 전달함수를 여러 개의 부분분수항으로 전개하여, 각 부분 필터를 병렬로 연결한 구조
        . 제어 및 해석이 용이


7. 격자형 (Lattice Form)

  ㅇ 시스템 출력이, 입력 신호 및 그 입력 신호의 이전 값들의 선형조합으로 표현되는 형태
     - 필터를 단계적(staged) 으로 구성한 구조로, 각 단계는 1차 필터 형태의 블록으로 이루어짐
        . 각 단계에는, 반사계수라는 값이 존재하며,
        . 이 계수가 이전 단계의 입력과 출력 간의 반사(feedback) 정도를 조절함