Equation of Motion   운동 방정식

1. 운동 방정식 (Motion Equation) 

  ㅇ 물체에 힘을 줄 때, 시간에 따라 물리량(위치,속도,가속도)의 변화(운동 상태)를 기술하는 방정식

  ㅇ 한편, 파동의 관점에서 움직임에 대한 방정식은,  ☞ 파동방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 참조


2. 기초적인 운동 방정식의 유도

  ㅇ 직간접적으로, 뉴튼의 운동법칙(뉴튼의 제2법칙)인,
     - 힘,질량,가속도 관계식 "F = ma"으로부터 유도됨

  ㅇ 표현 형태는,
     - 통상, 힘,질량,가속도 관계식 F(x,v,t) = ma 로써 표현되거나,
     - 또는, 위치,속도,시간으로 표현된 가속도에 관한 식 a(x,v,t) = F/m 으로도 표현 가능

  ㅇ (일반 표현식)  :  
[# m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{v},t) #]
     - 여기서, 힘 F는 질량 m인 입자에 가해지는 힘으로써, 위치,속도,시간의 함수 임
     - 수학적으로, 2계 미분방정식 형태 임
     - 이 식으로부터, 시간에 따른 위치(변위),속도 등을 결정(풀이)하기 위해, 적분되어야 함


3. 최종적인 운동 방정식의 유도

  ㅇ 최종적으로 유도되는 운동 방정식들은, 
     - 처음의 운동 방정식에서 힘(외부력,복원력 등)을 상쇄 또는 다른 물성 변수로 대체시킴

  ㅇ 즉, 일정 값을 갖는 힘을, 고려대상에서 빠지게 하고, 
     - 다만, 힘 중에서, 마찰력 등 저항력/감쇠력은 제외하고,
     - 주로, 물체의 성질(질량,탄성 등) 및 변위,속도,가속도,주파수,초기조건 등 만으로 표현
     - 결국, 위치,속도 등에 의해 운동 예측이 가능한 방정식 형태를 만듬

  ㅇ 운동 방정식의 수  :  자유도
     - 주어진 문제를 풀기 위해서는 자유도와 똑같은 수의 방정식이 필요함


4. 운동 방정식의 풀이

  ㅇ 운동 방정식의 풀이는,
     - 운동 방정식을 만족하는 시간 t의 함수를 구하는 것
     - 결국, `운동을 예측하는 것`이고, 이는 `2계 미분방정식의 해를 구하는 것`임

  ㅇ 통상, 여러 좌표계(직각좌표계,극좌표계,원통좌표계 등) 중 하나를 사용하여, 
     - 운동 방정식을, 스칼라 방정식 형태로 표현하여, 이를통해 풀이를 진행함

  ㅇ 운동 방정식의 해의 형태로는,
     - 통상, 일반해로 표현되나,
     - 이로부터 초기조건에 따라 구체적인 운동(궤적)을 보여주는 해(특수해)가 결정되어짐

  ㅇ 고전 역학에서는, 
     - 물체의 운동 상태(위치 및 운동량)에 대해, 운동 방정식으로 완벽히 묘사 가능하다고 봄
     - 즉, 미래 예측이 완전히 가능하다고 봄


5. 운동 방정식의 例

  ㅇ 병진 운동  :  직선 또는 곡선으로 움직이는 운동
     - (힘 평형)       ∑모든 외력 F = ma   (F: 힘, m: 질량, a: 가속도)
        . 가속도와 힘 사이의 관계식
     - 주요 관련 변수  :  질량,가속도,속도,변위 등

  ㅇ 회전 운동  :  고정 축 둘레의 운동
     - (모멘트 평형)   ∑모든 외력 T = Iα   (T: 토크, I: 관성능률, α: 각가속도)
        . 각가속도와 토크 사이의 관계식
     - 주요 관련 변수  : 관성능률,각가속도,각속도,각변위 등

  ㅇ 진동 운동  :  한정된 공간(계)에서의 주기적인 떨림
     - 운동 방정식 : 
[# \ddot{φ}+ω^2_0\;φ=0 #]
 
        . 진동 변위 Ψ와 고유주파수 ωo와의 관계식으로 표현됨   ☞ 조화진동 운동방정식 참조
     - 주요 관련 변수  :  공진주파수,강성도,질량,변위 등

  ㅇ 참고 例) ☞ 자유낙하운동, 포물선운동, 단순조화운동방정식, 2차 시스템 등 참조