1. (군 보다 약한 공리를 갖는 군들)
ㅇ 반 군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합
- 하나의 이항연산(덧셈)에 대해, `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립
ㅇ 모노이드 (Monoid) : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
- 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
. 例) `0`과 자연수 전체의 집합은,
.. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조(닫힘성,결합법칙 성립)이며,
.. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨
ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
* 즉, 반군 > 모노이드 > 군
※ (요약)
- 반군 (닫힘성,결합법칙)
- 모노이드 (닫힘성,결합법칙,항등원)
- 군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원)
- 가환군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원,교환법칙)
2. 군의 종류
ㅇ 유한 군, 무한 군
- 유한 군 (Finite Group) : 군의 원소 개수가 유한
- 무한 군 (Infinite Group) : 군의 원소 개수가 무한
. 例) (Z,+),(Q,·) 처럼 수체계로 만들어지는 군은 모두 무한 군 임
* 군의 원소의 개수 => 위수 (Order)
ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
- 한 원소로 군의 모든 원소를 나타낼 수 있는 군
. 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 군
.. 이 때 원소 a를 생성원(generator) 이라고 함
- 표기
. 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
. 위수 n인 순환군 Cn
* 순환군은 군 중에서 가장 간단한 구조를 갖음
ㅇ 가환 군 (Communtative Group) 또는 아벨 군 (Abelian Group)
- 군에 관한 4가지 공리에다가 추가적으로,
- 교환법칙도 만족하는 군
ㅇ 덧셈 군 (Additive Group)
- 아벨군의 이항 연산이 덧셈 연산인 군
. 덧셈 군 (G,+)의 항등원을 0 로 나타냄
ㅇ 곱셈 군 (Multiplicative)
- 군의 이항 연산이 곱셈 연산인 군
. 곱셈 군 (G,*)의 항등원을 1 로 나타냄
ㅇ 부분 군 (Subgroup)
- 군 G의 부분집합으로, 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군
. 자명한 부분 군 (Trivial Subgroup), 진 부분 군 (Proper Subgroup)
3. 대칭 군
※ 방정식의 풀이가능성(가해성,Solvability)과 관련되어 핵심적인 수학적 요소
ㅇ 치환 군 (Permutation Group)
- 치환(Permutation) : 집합 A 위에서 전단사함수
- 치환 군(Permutation Group) : 합성함수 연산에 의해 군이 되는 A의 치환들의 모임
. 집합 A에서 자기자신으로 가는 전단사 함수들의 군