군의 종류

(2023-09-13)

Cyclic Group, 순환 군, Semi-group, 반군, Monoid, 모노이드, Permutation Group, 치환 군, 덧셈군, 곱셈군


1. ( 보다 약한 공리를 갖는 군들)

  ㅇ 반 군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합 
     - 하나의 이항연산(덧셈)에 대해, `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립
        . 즉, 덧셈이 잘 정의되고, 뎃셈에 관한 결합법칙이 성립됨

  ㅇ 모노이드 (Monoid)       : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
     - 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
        . 例) `0`과 자연수 전체의 집합
           .. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조(닫힘성,결합법칙 성립)이며,
           .. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨

  ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
     * 즉,  반군 > 모노이드 > 군

  ※ (요약) 
     - 반군 (닫힘성,결합법칙)
     - 모노이드 (닫힘성,결합법칙,항등원)
     -  (닫힘성,결합법칙,항등원,역원)
     - 가환군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원,교환법칙)


2. 의 종류

  ㅇ 유한 군, 무한 군 
     - 유한 군 (Finite Group)   : 의 원소 개수가 유한 
     - 무한 군 (Infinite Group) : 의 원소 개수가 무한
        . 例) (Z,+),(Q,·) 처럼 수체계로 만들어지는 은 모두 무한  임
     * 원소의 개수 => 위수 (Order)

  ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
     - 한 원소로 의 모든 원소를 나타낼 수 있는 
        . 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 
           .. 이 때 원소 a를 생성원(generator) 이라고 함 
     - 표기
        . 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
        . 위수 n인 순환군 Cn
     * 순환군은  중에서 가장 간단한 구조를 갖음

  ㅇ 가환 군 (Communtative Group) 또는 아벨 군 (Abelian Group)
     - 에 관한 4가지 공리에다가 추가적으로,
     - 교환법칙도 만족하는 

  ㅇ 덧셈 군 (Additive Group)
     - 군의 이항 연산이, 덧셈 연산으로써, 가환 조건을 만족하는 군
        . 덧셈 군 (G,+)의 항등원은, 0 로 나타냄

  ㅇ 곱셈 군 (Multiplicative)
     - 이항 연산이, 곱셈 연산
        . 곱셈 군 (G,*)의 항등원은, 1 로 나타냄

  ㅇ 부분  (Subgroup) 
     -  G의 부분집합으로,  G와 같은 연산 구조를 갖는 군


3. 대칭 방정식의 풀이가능성(가해성,Solvability)과 관련되어 핵심적인 수학적 요소

  ㅇ 치환  (Permutation Group)
     - 치환(Permutation) : 집합 A 위에서 전단사함수
     - 치환 군(Permutation Group) : 합성함수 연산에 의해 이 되는 A의 치환들의 모임
        . 집합 A에서 자기자신으로 가는 전단사 함수들의 

군(Group)
   1. 군(Group)   2. 군의 종류   3. 가환군   4. 부분군   5. 대칭성   6. 대칭 조작   7. 치환   8. 군 용어  


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