Subgroup   부분 군

(2023-12-02)

라그랑주 정리


1. 부분  (Subgroup) 

  ㅇ 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 
     - 집합부분 집합, 선형 공간부분 공간이 있듯이, 군에도 부분 이 있음

  ㅇ 부분군의 표기
     - H를 군 G의 부분군이라하면, 이를 `H ≤ G`로 표기함

  ㅇ 닫힘성
     - 연산에 대해 닫혀있음 (집합 내 속한 모든 원소 쌍을 연산한 결과가 다시 그 집합 내 있음)
     - 역원에 대해 닫혀있음 (모든 원소의 역원이 다시 그 집합 내 있음)

  ㅇ 자기자신 및 항등원
     - 벡터공간에서, 모든 부분공간이, 자기자신 및 영공간부분공간으로 갖듯이,
     - 모든 군도, 자기자신 및 항등원을 부분군으로 갖음

  ㅇ 부분군의 例)
     - 덧셈에 대해, 정수 유리수 의 부분군이고, 유리수 실수 의 부분군 임
        . 즉, (Z,+) ≤ (Q,+) ≤ (R,+) 


2. 부분 의 구분집합부분집합진부분집합(Proper Subset),비진부분집합(Improper Subset)으로 구분되듯이
     - 자기자신을 원소로 포함하느냐에 따라, 진부분군,비진부분군으로 구분됨

  ㅇ 자명 부분  (Improper Subgroup, Trivial Subgroup)
     - 자기 자신 G와 항등원 {e}

  ㅇ 진 부분  (Proper Subgroup) (자기자신제외)
     - 자명한 부분 이 아닌 부분 을 이룰 때

  ※ 모든 은, {e}와 G 자신을, 부분군으로 갖음
     - 부분군 {e}는, 자명 부분군(trivial)이고, 
       {e}와 다른 모든 부분군은, 비 자명 부분군(nontrivial)임
     - 부분군 G 자신은, 비 진 부분군(improper subgroup)이고, 
       G와 다른 모든 부분군은, 진 부분군(proper subgroup)임

  ㅇ 정규 부분군 (Normal Subgroup)
     - 군 G의 부분군 H 내 모든 원소가 a H = H a 를 만족


3. 라그랑주 정리

  ㅇ G를 유한군, H를 G의 부분군이라할 때, G의 위수는 H의 위수배수 임
     - 즉, 유한군 내 부분군의 위수(m)는 유한군의 위수(n)의 약수(m|n)가 됨
        .. (n이 m으로 나누어떨어짐)

군(Group)
   1. 군(Group)   2. 군의 종류   3. 가환군   4. 부분군   5. 대칭성   6. 대칭 조작   7. 치환   8. 군 용어  


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