Natural Number   자연수

(2019-09-07)

페아노 공리

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1. 자연수

  ㅇ 양의 정수(positive integer) = 자연수(natural number) :  N =  { 1,2,3,... }


2. 자연수 성질

  ㅇ 계수성 (計數性, Countable) : 개수를 세는 것
     - 수를 헤아릴 수(셀 수) 있는 성질
        . 정수(整數),유리수(有理數),실수(實數)에는 없는 자연수 고유의 성질

  ㅇ 대소 관계 있음
     - 작은 것부터 차례대로 선택이 가능

  ㅇ 무한 집합 임
     - 자연수는 그 집합의 모든 수를 나열할 수 없으므로 무한 집합3. 자연수에 대한 엄밀한 정의

  ㅇ 페아노 공리계(Peano's Axioms)
     - 자연수의 개념을 공리적으로 규정한 5가지 공리

  ㅇ 자연수 전체의 집합에 대해 다음과 같이 공리적으로 규정할 수 있음

     - 공리 1   (자연수 집합공집합이 아님을 말해줌)
        . N ≠ ∅ 이고, 1 이라는 특별한 원소를 갖음 
     - 공리 2  
        . 모든 자연수는 그 다음 자연수(successor:계승자)를 오직 하나만 갖음
     - 공리 3   (자연수가 최소 원소를 갖음을 나타내는 공리 임)
        . 1을 그 다음으로 갖는 어떤 자연수도 없음
     - 공리 4   (자연수가 일정 간격으로 전개됨을 보장해 주는 공리 임)
        . 두 자연수의 다음 수들이 같다면 두 수는 서로 같음
        . 또는, 두 자연수가 다르면 다음 수도 서로 다름
     - 공리 5   (자연수의 귀납적 정의로써, 자연수 집합의 유일성을 보장해 주는 공리 임) 
        . 어떤 자연수들의 집합이 1을 포함하고,
        . 모든 원소에 대해 그 다음 수를 항상 포함한다면 그 집합은 자연수 집합이 됨

  ※ 페아노 (Giuseppe Peano, 1858~1932) : 이탈리아 수학


[수의 구분/표현] 1. 수 구분 2. 수 체계 3. 자연수 4. 정수 5. 분수,소수 6. 유리수,무리수 7. 실수 8. 복소수

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