1. `비교`,`닮음` 등 관련 용어들
※ `비교`에 대한 종합적인 이해는, ☞ 비교(같음/닮음/다름) 참조
※ 유사함을 의미하는 기하학적 용어들은, ☞ 합동(Congruence), 닮음(Similarity) 참조
2. [행렬] 닮음 (Similarity) 이란?
ㅇ 닮음 행렬
- (n x n)인 두 정방행렬 A,B 가 있을 때,
. 다음과 같은 조건을 만족하는, (n x n)인 정칙행렬(가역행렬) P 가 존재하면,
.. P B = A P 또는 B = P-1 A P 또는 A = P-1 B P
. 이때, 행렬 A,B 는 닮은 행렬 임
- 한편,
. (n x n)인 정칙행렬(가역행렬) P가 많이 존재할 수 있으므로,
. A와 닮은 닮음 행렬도 많게 됨
ㅇ 닮음 행렬의 표기
- B가 A와 닮음 행렬이면, A ~ B 라고 쓰며, (기호 `~`는, ☞ 동치관계 참조)
. B는 A로부터 닮음 변환에 의해 얻어질 수 있음
ㅇ 직교 닮음 행렬 (Orthogonal Similarity Matrix)
- (n x n)인 두 정방행렬 A,B 가 있을 때,
- 만일, B = PT A P 인 직교행렬 P 가 존재하면,
- 이때, 행렬 A,B 는 직교 행렬 이며, 동시에 닮은 행렬 임
3. [행렬] 닮음 변환 / 닮은 변환 (Similarity Transformation)
ㅇ 행렬 A 를 행렬곱 P-1 A P 로 변환하는 것
- T(A) = P-1 A P
4. [행렬] 닮은 행렬의 例)
5. [행렬] 닮은 행렬의 성질
ㅇ 행렬식이 같음
- det(A) = det(B)
ㅇ 랭크가 같음
- rank(A) = rank(B)
ㅇ 대각합이 같음
- tr(A) = tr(B)
ㅇ 해공간 차원이 같음
- 동차 방정식 A x = 0, B x = 0 의 해공간 차원이 같음
ㅇ 특성방정식 및 고유값이 같음
- (n x n) 행렬 A,B 가 닮음 행렬이면,
. 두 행렬의 특성다항식 및 고유값이 같고,
.. 이 때의 중복도(Multiplicity)도 같음
- 즉, 행렬을 닮음 변환해도 특성방정식 및 고유값은 변하지 않음
※ 닮음 불변량 (similarity invariant)
- 행렬식
- 랭크(행렬의 계수)
- 가역성
- 대각합
- 특성 방정식
- 고유값 및 그 대수적 중복도와 기하적 중복도
- 핵(커널,영공간)의 차원
※ 결국, 닮음 행렬들은,
- 행렬식, 랭크, 특성방정식, 고유값 등이 같으므로,
- 복잡한 행렬 문제를, 훨씬 단순한 모양의 닮음 행렬을 찾아서, 보다 쉽게 처리할 수 있음
6. [행렬] 대각화 가능 행렬 (Diagonalizable Matrix)
ㅇ 닮음 행렬의 특별한 형태로써, 응용에 많이 쓰이는 대각화 가능 행렬이 있음
- 대각 행렬(D)과 닮음일 때, => 대각화 가능 행렬(A) : (닮은 정방행렬)
- 즉,
. D = P-1 A P 또는 A = P-1 D P 를 만족하는,
.. 정칙행렬(가역행렬) P 및 대각행렬 D 가 존재할 때,
. 이때, 대각행렬 D와 닮은 정방행렬 (n x n) A는,
.. 대각화 가능 (Diagonalizable) 하다고 함
ㅇ 대각화 가능 행렬 例)
- 대칭 행렬
ㅇ 대각화 가능 행렬은,
- 다른 행렬들의 행렬 곱으로 표현이 가능 함