Basis   기저 (Basis), 기저 집합

1. 기저 (基底, Basis) 

  ㅇ 수학적 공간을 생성하는 최소의 집합
     - 가장 적은 수의 벡터로써, 선형 독립을 이루며, 벡터 공간을 생성 가능

  ㅇ 벡터공간 내에서 기저 벡터의 집합은,
     - ① 선형 독립이고, ② 전체 공간을 생성[생성]하게 됨

  ㅇ 기저의 특징
     - 동일 공간에서도 기저를 취할 수 있는 경우는 여러가지 임
     - 그러나, 기저를 구성하는 벡터의 개수는 항상 일정함  => 차원 참조


2. `기저 벡터`, `기저 함수`  

  ※ 벡터 공간 내 임의의 벡터,함수를, 선형독립인 기저 벡터,기저 함수들의 선형결합으로 표현 가능

  ㅇ 기저 벡터(Basis Vector) 
     - 주어진 벡터공간(벡터 부분공간)을 생성할 수 있는 기저 요소를 이루는 벡터

        . 벡터공간 V의 생성 : {# \mathbf{v} = c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots
                                              +c_n\mathbf{v}_n #}
        . 기저 벡터의 집합 : {#\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n\}#}
        . 여기서, 기저 벡터의 수 = 차원 = n

     * 차원 (Dimension) 이란?  => 기저 벡터의 수
        . 주어진 벡터공간(벡터 부분공간)을 생성하는데에,
        . 수많은 벡터들이 가능하지만, 
        . 그 공간을 생성하는데 필요한 최소개의 기저벡터의 수는 일정함

  ㅇ 기저 함수(Basis Function) 또는 기저 신호(Basis Signal)
     - 주어진 함수공간/신호공간을 생성할 수 있는 기저 요소를 이루는 함수/신호

     - N차원 함수공간에서 기저함수에 의한 함수 표현 例
         
[# s_i(t) = \sum^{N}_{j=1} s_{ij} \, φ_j(t) \quad (i = 1, \cdots \ , M) #]
 
        . 함수 집합 : {# \{ s_i(t)  \; | \; i = 1, \cdots ,M \} #}
        . 정규 직교 기저 함수 : {# \{ φ_j(t) \; | \; j = 1, \cdots ,N \} #}
 
     - 푸리에 변환에서 기저 함수 {# φ_j(t) #}의 例 : 정현파함수(또는 복소지수함수) 등


3. `표준 기저`, `직교 기저`, `정규 직교 기저` 비교 

  ㅇ 표준 기저 (Standard Basis)
     * 좌표계 표현에서, 각 축을 대표하는 기저 벡터들
     - 많은 가능한 기저들 중 성분 1개 만이 1 이고, 
        . 나머지 성분이 모두 0 인 표준적인 벡터  => 표준 단위벡터 (Standard Unit Vector)
        . R3의 표준기저 : e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)

     * Rn의 임의의 요소는, 이 표준기저의 선형결합으로 나타낼 수 있음
        . {# \mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+\cdots+x_n\mathbf{e}_n #}

  ㅇ 직교 기저 (Orthogonal Basis)
     * 통상, 기저에 속한 벡터들이 서로 수직이 아니므로, 
        . 임의 기저들로 새로운 좌표계 등을 나타낼 때 불편함
     - 기저를 이루는 벡터들이 서로 직교하는 기저
        . 즉, {# \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_j = 0 \quad (i \neq j) #}

     * 직교 기저의 벡터 크기는 반드시 1일 필요는 없음

  ㅇ 정규 직교 기저 (Orthonormal Basis)
     * 직교 기저 중 각 벡터의 크기까지 모두 1 인 기저
     - 즉, 서로 직교하고, 모두 단위 벡터인 기저
        . {# \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_j = 0 \quad (i \neq j) #}
        . {# \|\mathbf{v}_i\| = 1 #}

     


4. 좌표계의 표현

  ㅇ 통상적인 좌표계 표현 (유클리드 공간)                                ☞ 직교 좌표계 참조
     - 좌표축이 미리 정해진/고정된, 일반적으로 사용되는 좌표계
        . 각각의 축 또는 축평면이 직교성을 유지하는 등

  ㅇ 일반화된 벡터 공간에서 좌표계 표현                                 
     - 기저 벡터에 의한 좌표계 표현                                  ☞ 기저벡터 좌표계 참조
        . 좌표계를 고정된 좌표축이 아닌, 기저 벡터를 사용하여 보다 적절하게 규정 가능함

     - 기저 또는 기저 벡터가 좌표 벡터의 개념을 통해 좌표를 규정할 수 있음  ☞ 좌표벡터 참조

  ※ 한편, 
     - 표준 기저와 좌표계 간에 밀접한 관계 있음
        . 
[# \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
                        = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 
             \quad \left( \mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix},
                          \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) #]
     - 좌표 변환은, 
        . 행렬 곱셈(좌표변환 행렬), 변수 변환 등과 동등 함