1. 직교 행렬 (Orthogonal Matrix)
ㅇ (벡터 관점) 직교 행렬은, "서로 직교하는 단위 벡터"들로 이루어진 정방 행렬
- 행 벡터 또는 열 벡터들이,
- 서로 직교하고, 각각의 길이가 1인, (단위 직교 벡터 또는 정규 직교 벡터 : orthonormal vector)
- 정방 행렬
ㅇ (행렬 관점) 직교 행렬은, 전치행렬 AT과 역행렬 A-1이 동일한 정방 행렬
- 즉, AT = A-1 또는 A AT = AT A = I
* (핵심 정의) : 전치행렬 = 역행렬
. 역행렬은, 많은 계산량이 필요하나,
. 전치행렬은, 계산량이 적게 소모되어, 이를 응용 가능
ㅇ (직교 행렬 例)
[# A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
\quad A^{T} = A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
\quad AA^{T} = A^{T}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I #]
[# A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\quad A^{T} = A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}
\quad AA^{T} = A^{T}A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I #]
2. 직교 행렬의 성질
ㅇ 직교 행렬의 열벡터(행벡터)들이, 서로 정규 직교함
- Rn 정규직교 기저를 이룸
ㅇ 직교 행렬 A를 곱해도, 벡터의 내적이 변하지 않음
- < Ax, Ay > = < x, y >
ㅇ 직교 행렬 A를 곱해도, 벡터의 크기는 변하지 않음
- |Ax| = |x|
ㅇ 직교 행렬 A의 행렬식은, 1 또는 -1
- |A| = 1 또는 |A| = -1