Inner Product, Scalar Product, Dot Product   내적, 스칼라적, 점적

(2022-07-04)

내곱, 스칼라 곱, 점곱, 도트곱


1. 내적(Inner Product) / 도트곱(Dot Product) / 스칼라적(Scalar Product)

  ㅇ 임의 두 벡터로부터 스칼라 값(길이,거리 등)을 생성해내는 연산

  ㅇ 일반적 표기  :  < x,y > 또는 x·y 또는 xTy
  ㅇ 특징  :  연산의 결과가 벡터량이 아닌 스칼라량이 됨
     - 주로, 두 벡터 간의 기하학적인 비교(특징,유사성)에 대한 단일값으로 사용됨


2. 내적에 의해, 벡터는 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음벡터의 크기, 벡터 간의 각도, 거리, 직교성 등이 내적에 의해 비로소 정의됨

     - 벡터의 크기(길이) :  노름(Norm) = ∥u∥= u·u
     - 벡터 간의 각도    :  
[# θ = \cos^{-1} \left( \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} \right) #]
- 벡터 간의 거리 : 두 벡터 간의 거리(차이점,부동성) ☞ 유클리드 거리 - 벡터 간의 직교성 : < x,y > = 0 - 벡터 투영 : 한 벡터의 또다른 벡터로의 성분 3. 내적의 표현실수 벡터공간 Rn 상에서의 내적 - 내적의 기하학적 표현 . x·y = xy cos θ = ||x|| ||y|| cos θ .. 두 벡터의 크기의 곱 xy에 사잇각 θ의 코사인을 곱한 것 - 내적의 성분별 표현 . 두 벡터 x=(x₁,x₂,...,xn), y=(y₁,y₂,...,yn)에 대해, 복소수 벡터공간 Cn 상에서의 내적 - 임의의 두 벡터 x,y에 대해 각 성분의 스칼라들을 대응시키는(즉,곱하는) 연산 . 여기서, yH행렬 y의 헤르미티안 전치(Hermitian Transpose) ㅇ 신호공간 또는 함수공간 상에서의 내적 - 두 신호/함수 간의 내적 연산 4. 내적의 성질교환 법칙 성립 - x·y = y·x 또는 < x,y > = < y,x > ㅇ 분배 법칙 성립 - (x + yz = x·z + y·z 또는 < x+z,y > = < x,y > + < z,y > ㅇ 스칼라배 결합 법칙 성립 - (k xy = x·(k y) = k (x·y) 또는 < kx,y > = < x,ky > = k< x,y > ㅇ 양의 정부호 - x·x ≥ 0 또는 < x,x > ≥ 0 (등호는 x = 0 일때만 성립)



Copyrightⓒ written by 차재복 (Cha Jae Bok)
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