1. 유한요소법 (Finite Element Method)
ㅇ 공간 관점의 이산적 수치해법
- 연속체라는 복잡한 형상을,
. 유한요소라는 작고 간단한 기하 형상의 집합으로 이산화
- 근사화된 대수 방정식을 풀도록 하여,
. 수치적(근사적)으로 해석 및 원하는 해를 얻음
2. 유한요소법의 특징 및 장점
ㅇ 형상 적응성
- 복잡하고 불규칙한 기하학적 형상을 정밀하게 표현 가능
ㅇ 재료 비균질성
- 요소별로 서로 다른 재료 특성(이종 재료, 복합재 등) 부여 가능
ㅇ 다 물리계 해석
- 구조, 열, 유체 등 서로 다른 물리적 현상이 얽힌 결합 문제 해결에 유리
3. 유한요소법의 응용
ㅇ 구조 해석
- 외력 인가시, 구조물의 강성,응력 분포,변형량 등을 근사 수치계산에 의해 해석하는 것
ㅇ 전달 현상
- 유체유동, 열전달, 전자기장, 음향 해석 등 계의 해석 및 광범위한 공학 분야에 적용
4. 유한요소법의 수치해석적 원리
ㅇ 변분 원리 (Variational Principle)
- 계의 총 에너지를 최소화하는 방향으로 해를 탐색
ㅇ 가중 잔차법 (Weighted Residual Method)
- 미분방정식의 오차(잔차)를 최소화하는 근사 함수를 구성 (例: 갈레르킨법)
ㅇ 보간 함수 (Interpolation Function)
- 절점의 값을 통해 요소 내부의 값을 추정하는 형상 함수(Shape Function) 활용
5. 유한요소법의 풀이 방식
ㅇ 기하학적 형상, 하중, 재료성질 들이, 모두 복잡하게 관여되어,
- 단순한 해석적 해를 얻기가 어려워지는 경우에,
ㅇ 이를 공간적으로, 작은 유한 요소들로 나눠,
- 각각의 요소 방정식을 세우고 조합하여,
- 전체 강성 행렬(Global Stiffness Matrix) 구축
ㅇ 이를통해 얻어진, 전체 연립 대수 방정식(주로,연립미분방정식)의 해를,
- 컴퓨터에 의한 근사적 풀이 도모
6. 유한요소법의 필요 사항 및 과정
ㅇ 이산화 (Discretization) : 구조체 분할, 요소 분할
- 유한요소법 적용시, 고려되는 최초 기본 과정 임
- 내용 : 요소의 종류, 형상, 요소 수, 절점 위치 등을 결정
- 특징 : 분할 수가 많을수록 해의 정확도가 높아지나 연산 비용(시간, 메모리) 증가 (상충관계)
ㅇ 요소 형태 및 크기
- 급격한 변화가 예상되는 곳은 조밀하게, 완만한 곳은 성기게 배치
. 유용한 결과를 얻기 위해, 충분히 작아야 함 (기하학적 형상이 변하는 곳 위주)
. 계산을 줄이기 위해, 충분히 커야 함 (결과값이 상대적으로 일정한 곳 위주)
ㅇ 단계별 적용과정
- 전처리 (Preprocessing) : 모델링, 격자 생성, 경계 조건 설정
- 해석 (Solver) : 행렬 연산 및 방정식 풀이
- 후처리 (Post-processing) : 결과 시각화(컨투어 맵) 및 데이터 분석
7. 유한요소법의 한계 및 고려사항
ㅇ 근사 오차 : 실제 연속체 모델을 이산화하는 과정에서 발생하는 수치적 오차 존재
ㅇ 계산 자원 : 모델의 자유도(DOF)가 커질수록 고성능 컴퓨팅 자원 필요
ㅇ 수렴성 확인 : 격자 크기를 줄여가며 결과값이 일정 값으로 수렴하는지 검증 필수
8. [참고사항]
ㅇ 메쉬 (Mesh) 생성 : 해석할 도메인을 작은 요소로 분할하는 과정
- 해석 도메인을 분할한 요소들의 망 형태로 변환
ㅇ 요소 방정식 (Element Equation) : 개별 요소에 적용되는 물리적 방정식
- 연속체를 잘게 나눈 개별 요소(Element) 하나하나에 대해,
. 물리적 법칙을 적용하여 세운 방정식
- 전체 구조물을 한꺼번에 계산하기 어려우므로,
. 아주 작은 단위인 '요소' 내부에서의 물리적 관계를 정의한 것
- 행렬 형태 例) {#[k]^{(e)}[u]^{(e)}=[f]^{(e)}#}
. {#[k]^{(e)}#} : 요소 강성 행렬 (재료 특성과 기하학적 형상 포함)
. {#[u]^{(e)}#} : 요소 절점 변위 (미지수)
. {#[f]^{(e)}#} : 요소 절점 하중 (외력)
- 요소 방정식을 유도하는 구체적인 수학적 방법 : (에너지법이나 가중잔차법 등)
ㅇ 강성 행렬 (Stiffness Matrix) : 각 요소에서 물리 방정식을 풀기 위해 사용하는 행렬
- 하중과 변위의 관계를 나타내는 계수 행렬
ㅇ 경계 조건 (Boundary Condition) : 해석 영역의 물리적 제한을 정의
- 하중(Force)이나 구속(Fix) 등 외부 환경 조건