Orthogonal Transformation   직교 변환

1. 직교 변환 (Orthogonal Transformation) 

  ㅇ 직교 행렬로 표현되는 선형 변환(linear transformation)이며,
     - 벡터의 노름,내적을 보존 ⇒ 결과적으로, 물체의 크기와 형태를 바꾸지 않고,
        . 방향만 회전 또는 반사시키는 변환
           .. (회전 변환, 반사 변환)

     - 선형변환이므로, 원점(0)은 항상 고정됨 : T(0) = 0


2. 직교 변환의 표현

  ㅇ A가 직교 행렬(AᵀA = AAᵀ = I)일 때, 행렬 변환으로 표현 가능
     - 즉, T(u) = Au

  ㅇ 한편, 직교 행렬의 열(column)들은 서로 정규직교(orthonormal) 벡터


3. 직교 변환의 특징

  ㅇ 직교 변환의 핵심 성질  :  내적 보존
     - 모든 성질은 아래 "내적 보존"으로부터 유도됨
        . ⟨T(u), T(v)⟩ = ⟨u, v⟩   (내적 보존, 근본 성질)

  ㅇ 직교 변환은 노름,거리,각도를 보존함
     - 노름 보존  :  {#\|\mathbf{u}\| = \|T(\mathbf{u})\|#}, {#\|\mathbf{v}\| = \|T(\mathbf{v})\|#}
     - 거리 보존  :  {# d(A,B) = d(C,D) #}
     - 각도 보존  :  {# \alpha = \beta #}
        

  ㅇ 직교 변환의 분류 (det A 값에 따라)
     - det A = +1  →  고유 직교변환 (회전, rotation)  :  방향 (orientation) 보존
     - det A = −1  →  비고유 직교변환 (반사, reflection)  :  방향 반전


4. 직교 변환과 강체 운동

  ㅇ 강체 운동 (Rigid Motion)
     - 물체의 거리와 형태를 유지한 채 위치나 방향만 바꾸는 운동
 
  ㅇ 직교 변환과의 관계
     - 직교변환은 원점을 고정한 강체 운동(회전,반사)에 해당함
     - 보다 일반적인 강체 운동은, 직교변환 + 평행이동을 포함
        . {# T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b} #}
           .. ({#\mathbf{A}#}: 직교행렬, {#\mathbf{b}#}: 평행이동 벡터)