Runge–Kutta Method   룬게-쿠타 법

1. 룬게-쿠타 법 (Runge–Kutta Method)

  ㅇ 오일러법을 개선한, 고정 스텝 단일 단계 (single-step) 방법
     - 한 스텝 내 여러 지점의 기울기(미분값)를 평균 내어,
        . 오차를 줄이고 정확도를 높인, 고정 스텝 수치적 적분을 이용한 미분방정식 해법

  ㅇ 기본적으로 다음 형태의 가중평균 기울기를 사용하는, 수치적 적분을 이용한 미분방정식 해법
       
[# y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^{s} b_i k_i #]
     - s : 단계 수 (RK4에서는, s = 4)
     - bi : 각 단계별 가중계수(weight)
     - ki : 각 단계의 기울기(미분값)

  ㅇ 가장 널리 쓰이는 4차 룬게-쿠타법 (RK4)
     - 오일러법보다 훨씬 정확한 4차 근사법으로,
         
[# \begin{aligned}
              k_1 &= f(t_n,\, y_n), \\
              k_2 &= f\!\left(t_n + \frac{h}{2},\, y_n + \frac{h}{2}k_1\right), \\
              k_3 &= f\!\left(t_n + \frac{h}{2},\, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), \\
              k_4 &= f\!\left(t_n + h,\, y_n + h\,k_3\right),
            \end{aligned} #]
     - 이를 평균 가중합으로 결합하여, 다음 단계를 계산
         
[# y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right) #]