1. 면적 모멘트 (Area Moment) 이란?
ㅇ 단면의 기하학적 분포를 수치적으로 나타내는 값
- 1차 면적 모멘트 (First Moment of Area)
. 면적 요소와 그것의 축으로부터 거리의 곱을 전체 면적에 대해 적분한 값
.. 대칭 도형은 중심 축 기준으로 1차 면적 모멘트가 0이 됨
- 2차 면적 모멘트 (Second Moment of Area) = 면적 관성 모멘트
. 면적 요소와 거리의 제곱의 곱을 전체 면적에 대해 적분한 값
2. 면적 모멘트의 표현식 및 의미
ㅇ 축에 대한 1차 면적 모멘트 (Q) : (면적의 무게중심 결정)
- x축에 대한 1차 면적 모멘트 : {# Q_x = \int_A y dA #}
- y축에 대한 1차 면적 모멘트 : {# Q_y = \int_A x dA #}
- 무게중심 좌표 : [# \bar{x} = \frac{Q_y}{A} = \frac{1}{A} \int_A x \, dA,
\quad \bar{y} = \frac{Q_x}{A} = \frac{1}{A} \int_A y \, dA #]
. 값이 클수록, 면적이 축으로부터 멀리 퍼져 있거나 면적 자체가 크다는 의미
.. 이는 무게중심이 축에서 더 멀리 있을 수 있다는 것을 뜻함
ㅇ 축에 대한 2차 면적 모멘트 (면적 관성 모멘트, I) : (단면의 굽힘 저항성)
- x축에 대한 면적 관성 모멘트 (Ix) : {# I_x = \int_A y^2 dA #}
- y축에 대한 면적 관성 모멘트 (Iy) : {# I_y = \int_A x^2 dA #}
. 축(x축, y축)을 기준으로 면적 요소의 거리에 대한 적분
ㅇ 점에 대한 2차 면적 모멘트 (극 관성 모멘트, J) : (단면의 비틀림 저항성)
- {# J=I_x + I_y=\int_A (x^2 + y^2) dA#}
. 한 점(보통 중심점)을 기준으로 면적 요소의 거리에 대한 적분
* 이들 값이 클수록, 단면이 굽휨, 비틀림에 강하게 저항함
. 특정한 축 또는 점을 기준으로 단면이 회전(굽힘 및 비틀림)에 얼마나 저항하는지를 나타냄
3. 면적 관성 모멘트 (Moment of Inertia of Area)
ㅇ 주어진 단면의 회전 저항성을 나타내는 물리량
- 주로, 보나 빔이 굽힘을 받을 때 단면이 어떻게 저항하는지를 나타냄
. 특히, 응력과 변형률 분석에서 필수적으로 사용됨
ㅇ (정의)
- 면적 관성 모멘트 (Moment of Inertia of an Area)
. 특정 축 마다 해당 축을 기준으로 한 면적의 2차 모멘트 (Second Moment of Area)
.. 회전 축으로부터 단면 내 각 지점까지,
.. 거리의 제곱에 그 지점의 미소 면적과의 곱을
.. 단면 전체에 걸쳐 합산(적분)한 값
ㅇ (의존성)
- 단면의 모양과 크기, 기준 축에 의존함
ㅇ (물리적 의미)
- 단면이 축에서 멀수록 더 큰 굽힘 저항성을 가지며, 그 효과는 거리의 제곱에 비례함
4. 극 관성 모멘트 (Polar Moment of Inertia)
ㅇ 원형 단면의 비틀림 저항성을 나타내는 기하학적 특성치
ㅇ 적용 대상 : 주로 원형 단면 (축, 샤프트, 파이프 등)
ㅇ (특징)
- 값이 클수록, 같은 토크를 가해도 비틀림 각이 작아짐
- 주로 원형 단면 또는 원형 포함 단면에 적용됨