환의 종류

1. 추가적인 조건이 부여됨에 따라 나타나는 또다른 환(Ring)의 형태들

  ㅇ 가환환 (Commutative Ring)
     - 추가적으로 곱셈(·)에 대해서도 가환(commutative)이 되는 환 : a·b = b·a  
        . 즉, 곱셈에 대해 교환법칙까지도 성립하는 가환환
     * 한편, 환은, 굳이 곱셈에 대해 교환법칙 성립을 요구하지 않음
     - 例) 정수환,유리수환,실수환,복소수환 등

  ㅇ 단위환 (Ring with Multiplicative Unity, Ring with Unity)
     - 추가적으로 곱셈 항등원. 즉, `단위원을 갖는 환`
        . 단위원(unity or identity) : 곱셈에 대한 항등원
     * 한편, 환은, 굳이 곱셈에 대한 항등원을 요구하지 않음
     - 즉, 모든 원소 a ∈ R에 대해, 1·a = a·1 = a 인 1 ∈ R 이 존재하는 환

  ※ 例) 
     - Z(정수),Q(유리수),R(실수),C(복소수)들은, 모두 단위원을 갖는 가환환 이나,
     - N(자연수)는, 덧셈 항등원(0)이 없으므로, 환도 아님

  ㅇ 나눗셈환 (Division Ring)
     - 단위원 1을 갖는 환으로써, 곱셈 역원이 존재하는 환
        . 각 원소 a∈R,a≠0에 대해, a·a-1 = a-1·a = 1

  ㅇ 정역 (Integral Domain)
     - 단위원(곱셈 항등원) 1을 갖고, 영 인자(0의 약수)를 갖지 않는, 가환환

  ㅇ 유클리드 정역 (Eucleadian Domain)
     - 정수환,다항식환 처럼 나눗셈 정리가 성립하는 정역
     - 원소들 간에 크기(size) 개념이 있는 정역

  ㅇ 체 (Field)
     - 가환환인 나눗셈환
        . 단위원을 갖는 가환환으로,
        . 영이 아닌 모든 원소가 단원(unit,역원이 존재하는 원소)이 되는 경우

  ㅇ 사체/비가환체 (Skew Field)
     - 비가환환인 나눗셈환


2. 환, 가환환, 단위환, 정역, 체의 비교