1. 확률 모멘트 (적률)
ㅇ 확률분포에 의해 대표값이 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현
2. n차 모멘트 (적률)
※ n차 모멘트는, 확률변수 X에 대한 대표값(평균,분산,왜도,첨도 등)을 보다 일반화시킨 것
- 즉, 확률분포 상의 여러 통계량을 일원적으로 살펴볼 수 있음
. 대부분, 기대값의 함수 E[Xn]로 표시함
ㅇ 연속확률변수 n차 적률 : {# m_n = E[X^n] = \int^{\infty}_{-\infty} x^nf(x)dx #}
ㅇ 이산확률변수 n차 적률 : {# m_n = E[X^n] = \sum_{x} x^np_{\scriptsize X}(x)dx #}
3. 확률 적률(모멘트)의 종류
ㅇ 원점 적률(모멘트) (Moment about origin)
- 원점을 중심으로하는 k차 모멘트
[# m_k = E[X^k] = \left\{
\begin{array}{ll} \sum x^k p(x) & \text{(discrete)} \\
& \\
\int x^k f(x)dx & \text{(continuous)}
\end{array}
\right. #]
ㅇ 중심 적률(모멘트) (Central Moment)
- 평균값을 중심으로하는 k차 모멘트
[# μ_k = E[(X-μ)^k] = \left\{ \begin{array}{ll}
\sum (x-μ)^k p(x) & \text{(discrete)} \\
& \\
\int (x-μ)^k f(x) dx & \text{(continuous)}
\end{array} \right. #]
ㅇ 계승 적률(모멘트) (Factorial Moment)
[# E[(X)_k] = E[X(X-1) \cdots (X-k+1)] #]
ㅇ 결합 적률(모멘트) (Joint Moment)
- 결합 확률분포에 의해 정해지도록 일반화시킨 통계량 표현
[# E[X^jY^k] = \int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty} x^jy^kf_{XY}(xy) dxdy #]
4. k차 원점 적률(모멘트) 표현 例
ㅇ 0차 원점 적률(모멘트) : f(x)의 면적
- m0 = 1
ㅇ 1차 원점 적률(모멘트) : 평균에 대한 기대값
- [# m_1 = E[X^1] = \left\{ \begin{array}{l}
\sum x^1 p_X(x) = \bar{x} \\
\\
\int^{\infty}_{-\infty} x^1 f_X(x) dx = \bar{x}
\end{array} \right. #]
ㅇ 2차 원점 적률(모멘트) : 제곱평균(분산)에 대한 기대값
- m2 = E[X2] = ∑ x2 PX(x) = ∫ x2 f(x) dx
ㅇ 3차 원점 적률(모멘트) : 왜도(Skewness) 기대값 (분포의 비대칭 정도의 측도)
- m3 = E[X3] = ∑ x3 PX(x) = ∫ x3 f(x) dx
ㅇ 4차 원점 적률(모멘트) : 첨도(Kurtosis) 기대값 (분포의 뽀족한 정도의 측도)
- m4 = E[X4] = ∑ x4 PX(x) = ∫ x4 f(x) dx
ㅇ k차 원점 적률(모멘트)
- [# m_k = E[X^k] = \int^{\infty}_{-\infty} x^k f(x) dx #]
5. k차 중심 적률(모멘트) 표현 例
ㅇ 0차 중심 적률(모멘트) : f(x)의 면적
- μ0 = 1
ㅇ 1차 중심 적률(모멘트)
- μ1 = 0
ㅇ 2차 중심 적률(모멘트)
[# μ_2 = σ^2_{X} = E[(X-\bar{X})^2] = \int^{\infty}_{-\infty} (x-\bar{x})^2 f_X(x) dx #]
- 2차 중심 적률(모멘트)와 원점 적률(모멘트) 간의 관계
[# σ^2_{X} = E[X^2 - 2\bar{X}X + \bar{X}^2] = E[X^2] - 2\bar{X}E[X] + \bar{X}^2 \\
= E[X^2] - \bar{X}^2 = m_2 - m^2_1 #]
* 2차 중심 적률은, 분산이 됨
6. 적률생성함수 (Moment Generating Function, MGF)
ㅇ 적률(모멘트)을 생성할 수 있는 특별한 함수의 기대값
- MX(t) = E[etX]