Inner Product, Scalar Product, Dot Product   내적, 스칼라적, 점적

1. 내적 (Inner Product) / 도트곱 (Dot Product) / 스칼라적 (Scalar Product)

  ㅇ 임의 두 벡터로부터 스칼라 값(길이,거리 등)을 생성해내는 연산

  ㅇ 표기  :  < x,y >  또는  x·y  또는  xTy


2. 내적의 특징  

  ㅇ 연산의 결과가, 벡터량이 아닌 스칼라량이 됨
     - 이는 주로, 두 벡터 간의 기하학적인 비교(특징,유사성)를 위한, 단일값으로 사용됨
     - 한편, 대부분의 `벡터 곱셈`의 결과가 벡터로 나타나지만, 내적은 그 결과가 스칼라가 됨

  ㅇ 연산의 형태가, 벡터 내 같은 성분끼리 곱한 후 이들을 더하는 꼴을 취함
     - 이를 행렬 관점으로 보면, 1 x n 행렬과 n x 1 행렬을 곱하는 `행렬 곱셈`과 같음


3. 내적에 의해, 벡터는 비로소 기하학적인 의미(크기,각도,거리 등 스칼라량)를 부여 받음

  ㅇ 벡터의 크기, 벡터 간의 각도, 거리, 직교성 등이 내적에 의해 비로소 정의됨

     - 벡터의 크기(길이)  :  노름(Norm) = {#\Vert\mathbf{u}\Vert = \sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}#}
     - 벡터 간의 각도  :  
[# θ = \cos^{-1} \left( 
                       \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} \right) #]
     - 벡터 간의 거리  :  두 벡터 간의 거리(차이점,부동성)   ☞ 유클리드 거리 참조
        . 
[# \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\| = \sqrt{ \|\mathbf{x}\|^2 + \|\mathbf{y}\|^2 
                                         - 2\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} } #]
     - 벡터 간의 직교성  :  < x,y > = 0
     - 벡터 투영  :  한 벡터 {#\mathbf{x}#}의 또다른 벡터 {#\mathbf{y}#}로 드리운 그림자
        . 
[# Proj_{\mathbf{y}} \mathbf{x} = \frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\mathbf{y}\cdot\mathbf{y}} \mathbf{y} #]
   


4. 내적의 표현

  ㅇ 실수 벡터공간 Rn 상에서의 내적 

     - 내적의 기하학적 표현
        . x·y = xy cos θ = ||x|| ||y|| cos θ
           .. 두 벡터의 크기의 곱 xy에 사잇각 θ의 코사인을 곱한 것
              

     - 내적의 성분별 표현
        . 두 벡터 x=(x₁,x₂,...,xn), y=(y₁,y₂,...,yn)에 대해,
           .. 같은 성분끼리 곱한 후 이들을 더하는 꼴을 취함
              


  ㅇ 복소수 벡터공간 Cn 상에서의 내적

     - 임의의 두 벡터 x,y에 대해 각 성분의 스칼라들을 대응시키는(즉,곱하는) 연산
        
        . 여기서, yH는 행렬 y의 헤르미티안 전치(Hermitian Transpose)

  ㅇ 신호공간 또는 함수공간 상에서의 내적

     - 두 신호/함수 간의 내적 연산
       


5. 내적의 성질

  ㅇ 교환 법칙 성립
     -  x·y = y·x  또는  < x,y > = < y,x >
  ㅇ 분배 법칙 성립
     -  (x + y)·z = x·z + y·z  또는  < x+z,y > = < x,y > + < z,y >
  ㅇ 스칼라배 결합 법칙 성립
     -  (k x)·y = x·(k y) = k (x·y)  또는  < kx,y > = < x,ky > = k< x,y >
  ㅇ 양의 정부호
     -  x·x ≥ 0  또는  < x,x > ≥ 0 (등호는 x = 0 일때만 성립)