Random Vector, Probability Vector   랜덤 벡터, 확률 벡터, 벡터 확률변수, 벡터 랜덤변수

1. 다 변량 확률변수 / 다 차원 확률변수 / 다중 확률변수

  ㅇ 동일 표본공간에서 정의되는 여러 확률변수
     - 확률변수들을 한번에 여러개 묶어놓은 것
        . 1개 표본에 여러 확률변수가 동시에 관련되는 경우
           .. 여러 확률변수들을 동시에 고려함


2. 다변량 결합 확률적 표현 (☞ 결합 통계량 참조)

  ㅇ 다변량 확률변수로 결합된 함수의 기대값

      

  ㅇ 다변량 결합 누적분포함수(CDF)

      

  ㅇ 다변량 결합 확률질량함수(PMF)

      

  ㅇ 다변량 결합 확률밀도함수(PDF)

      


3. 확률 벡터 / 랜덤 벡터 / 벡터 확률변수

  ㅇ 다변량 확률변수를 벡터로 표기한 것
     - 확률 벡터 : {# \mathbf{X} = [X_1 \; X_2 \; \cdots \; X_n]^T #}
     - 랜덤 표본값 : {# \mathbf{x} = [x_1 \; x_2 \; \cdots \; x_n]^T #}

  ㅇ 특징
     - (연관성) 원소들 간에 어떤 연관성이 존재 함
     - (확률값) 매 원소가 0~1인 확률값을 갖는 확률변수로 이루어짐
     - (총 확률값) 모든 원소가 합해지면 확률값 1 이 됨

     * 한편, 여러 확률벡터를 함께 고려하는 경우는, ☞ 확률행렬 참조


4. 확률벡터의 통계량 표현

  ㅇ 확률벡터의 기대값 =>  평균 벡터 (Mean Vector)
       
[# \mathbf{μ} = E[\mathbf{X}]
                      = E \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}
                      = \begin{bmatrix} E[X_1] \\ E[X_2] \\ \vdots \\ E[X_n] \end{bmatrix}
                      = \begin{bmatrix} μ_1 \\ μ_2 \\ \vdots \\ μ_n \end{bmatrix}
        #]
 
  ㅇ 확률벡터의 분산   =>  공분산 행렬 (Covariance Matrix)
       
[# Cov[\mathbf{X}] = E[(\mathbf{X}-\mathbf{μ})(\mathbf{X}-\mathbf{μ})^T] \\
              \qquad\quad = \begin{bmatrix} 
                              Cov[X_1,X_1] & Cov[X_1,X_2] & \cdots & Cov[X_1,X_n] \\
                              Cov[X_2,X_1] & Cov[X_2,X_2] & \cdots & Cov[X_2,X_n] \\
                              \vdots       & \vdots       & \vdots & \vdots       \\
                              Cov[X_n,X_1] & Cov[X_n,X_2] & \cdots & Cov[X_n,X_n] \\
                            \end{bmatrix} \\
              \qquad\quad = \begin{bmatrix} 
                              σ_{11} & σ_{12} & \cdots & σ_{1n} \\
                              σ_{21} & σ_{22} & \cdots & σ_{2n} \\
                              \vdots  & \vdots  & \vdots & \vdots  \\
                              σ_{n1} & σ_{n2} & \cdots & σ_{nn} \\
                            \end{bmatrix}
        #]
     - 한편, 
        . 공분산 행렬은, {# σ_{ij} = Cov[X_i,X_j] = Cov[X_j,X_i] = σ_{ji} #}인 대칭 행렬 임
        . {# σ_{ii} = σ_i^2 = Var[X_i] #}
        . (명칭) 공분산 행렬, 분산 공분산 행렬, 분산 행렬 등