PDE   Partial Differential Equation   편 미분 방정식

1. 편 미분방정식 (partial differential equation)

  ㅇ 미지 함수의 편 도함수를 포함하는 미분방정식 
     - 2 이상의 독립변수에 관한 편도함수를 포함하는 미분방정식

  ㅇ 물리적 모델화
     - 2 이상의 변수들에 종속되는 물리학적 문제의 수학적 모델링
        . 미지 함수인 해(解)가 2 이상의 종속변수에 종속적 임


2. 편 미분방정식 특징 및 일반적 풀이

  ㅇ 특징
     - 통상, 상미분방정식과 달리, 편미분방정식에서는 일반해를 구할 수 없음
     - 사실상, 특정조건(초기조건,경계조건)을 만족하는 특수해를 구하는 것이, 응용에 더 중요함

  ㅇ 편 미분방정식의 일반적 풀이 : 변수분리법 (가장 오래된 체계적인 방법)
     - 양 변 모두 x,y 각각의 변수들 만으로 이루어지게 함으로써, 
     - 각 변수가 서로 독립적으로 변하게 되므로,
     - 결국, 상수로 대치하여 푸는 방법


3. 선형 편미분방정식 형태 및 분류

  ㅇ 종속변수 및 그 편도함수의 차수가 1

  ㅇ 선형 2계 편미분방정식 일반 형태
     

  ㅇ 형태 분류
     - B2 - 4AC > 0  :  쌍곡형(Hyperbolic)
        . 例)  파동방정식 :  c2 uxx - utt = 0
     - B2 - 4AC = 0  :  포물형(Parabolic)
        . 例)  열방정식, 확산방정식
     - B2 - 4AC < 0  :  타원형(Elliptic)
        . 例)  2차원 라플라스방정식, 퍼텐셜 문제


4. 주요 응용별 例)

  ㅇ 라플라스 방정식  (정상 과정)
      
     - 형태) Homogeneous, Elliptic

  ㅇ 포아송 방정식
      
     - 형태) Nonhomogeneous, Elliptic

  ㅇ 열전도 방정식 또는 확산 방정식  (확산 과정)
      
     - 형태) Parabolic

  ㅇ 파동 방정식  (진동 과정)
     - 시간 독립 파동 방정식 - 헬름홀츠 방정식
        
        . 형태) Hyperbolic

     - 시간 의존 파동 방정식
        

  ※ (위 방정식들의 특징)
     - 선형(Linear) 2계(2nd order) 편미분방정식
     - 선형 연산자 형태 : L f = g 
        . L : 선형 연산자 
        . g : 원천(Source)
        . f : 미지의 스칼라 함수