1. 면적 모멘트 (Area Moment) 이란?
ㅇ 단면의 기하학적 분포 특성을, 수치로 표현해 보인 값
- 구조물의 강도, 강성, 안정성 등을 평가하는 데 활용됨
ㅇ 구분 : 1차 면적 모멘트, 2차 면적 모멘트
2. 1차 면적 모멘트 (First Moment of Area)
※ '면적 요소'과 `그것의 축으로부터 거리`와의 곱을, 전체 면적에 대해 적분한 값
- 축으로부터 단면 내 각 지점까지,
- 거리의 제곱에 그 지점의 미소 면적과의 곱을
- 단면 전체에 걸쳐 합산(적분)한 값
ㅇ 축에 대한 1차 면적 모멘트 (Q) : (면적의 무게중심 결정에 유용)
- 1차 면적 모멘트
. x축에 대한 1차 면적 모멘트 : {# Q_x = \int_A y dA #}
. y축에 대한 1차 면적 모멘트 : {# Q_y = \int_A x dA #}
- 무게중심 좌표
. x축에 대한 무게중심 좌표 : {# \bar{x} = Q_y/A = 1/A \, \int_A x \, dA #}
. y축에 대한 무게중심 좌표 : {# \bar{y} = Q_x/A = 1/A \, \int_A y \, dA #}
* 1차 면적 모멘트 값이 클수록,
. 면적이 축으로부터 멀리 퍼져 있거나 면적 자체가 크다는 의미
. 또는, 무게 중심(질량 중심)이 축에서, 더 멀리 있을 수 있다는 것을 뜻함
* 대칭 도형은 중심 축 기준으로 1차 면적 모멘트가 0이 됨
3. 2차 면적 모멘트 (Second Moment of Area)
※ `면적 요소`과 `그것의 축으로부터 거리의 제곱`과의 곱을, 전체 면적에 대해 적분한 값
ㅇ 축에 대한 2차 면적 모멘트 (면적 관성 모멘트) (I) : (단면의 굽힘 저항성)
- 2차 면적 모멘트 (면적 관성 모멘트)
. x축에 대한 2차 면적 모멘트 : {# I_x = \int_A y^2 dA #}
. y축에 대한 2차 면적 모멘트 : {# I_y = \int_A x^2 dA #}
* 이 값이 클수록, (축으로부터 면적 요소의 거리 제곱이 클수록)
. 해당 단면(면적)이 굽힘에 더 크게 저항한다는 의미
ㅇ 점에 대한 2차 면적 모멘트 (극 관성 모멘트) (J) : (단면의 비틀림 저항성)
- {# J=I_x + I_y=\int_A (x^2 + y^2) dA#}
. 한 점(보통 중심점)을 기준으로 면적 요소의 거리에 대한 적분
* 단면 내 모든 면적 요소가 중심으로부터 얼마나 멀리 퍼져 있는가를 나타냄
* 이 값이 클수록, 주어진 단면의 회전 저항성을 강하게 나타냄
. 축을 따라 작용하는 비틀림(Torsion)에 대한 저항성을 나타냄
* 이 값이 클수록, 같은 토크(비틀림 모멘트)를 가했을 때, 변형(비틀림각)이 작아짐
※ 이들 값이 클수록, 단면이 굽휨, 비틀림에 강하게 저항함
- 특정한 축 또는 점을 기준으로 단면이 회전(굽힘 및 비틀림)에 얼마나 저항하는지를 나타냄
4. 면적 관성 모멘트 (Moment of Inertia of Area)의 물리적 의미
ㅇ (개요)
- 주어진 단면의 회전(굽힘)에 대한 저항성을 나타내는 기하학적 특성치
- 응력과 변형률 분석, 특히 보나 빔의 굽힘 해석에서 핵심적인 역할을 함
ㅇ (정의식)
- 특정 축에 대한 면적의 2차 모멘트 (Second Moment of Area)
. I = ∫A r2 dA
.. 여기서, r은 기준축으로부터의 거리
ㅇ (의존성)
- 단면의 모양, 크기, 기준 축에 의존함
ㅇ (물리적 의미)
- 단면의 면적이 기준축에서 멀리 위치할수록, 굽힘에 대한 저항이 커짐
- 거리의 제곱이 포함되므로, 멀리 있는 면적일수록 훨씬 큰 영향력을 가짐
4. 극 관성 모멘트 (Polar Moment of Inertia)의 물리적 의미
ㅇ (개요)
- 원형 단면의 비틀림에 대한 저항성을 나타내는 기하학적 특성치
ㅇ (정의식)
- 한 점(보통 단면의 중심)을 기준으로 한 면적의 2차 모멘트
. J = ∫A (x2 + y2) dA
ㅇ (적용 대상)
- 주로, 원형 단면 (축, 샤프트, 파이프 등)
ㅇ (물리적 의미)
- 값이 클수록, 같은 토크를 가해도 비틀림 각(변형량)이 작아짐
- 따라서, 큰 극관성모멘트를 가진 단면일수록, 비틀림에 강한 구조임
- 주로, 원형 단면 또는 원형 포함 단면에 적용됨
. (원형 단면이면, 다음과 같이 계산 가능) J = 2πr4