1. [수학] 정의역, 공역, 치역, 그리고 상
ㅇ 정의역 (domain)
- 함수에서 입력 원소(독립변수)가 변하는 범위 또는 집합
. 가능한 입력의 집합
ㅇ 공역/공변역 (codomain)
- 함수 f에 의한 상(image,함수값)이 위치할 수 있는 공간
. 가능한 출력 전체의 집합
. 실제로 치역 보다 클 수 있음
. 치역과 잘 구별하지 않으나, 공역은 치역의 초집합
. 공역의 원소들이 모두 치역의 원소일 필요는 없음
ㅇ 치역 (range)
- 함수가 실제로 취하는 출력 원소의 집합
. 정의역에 대응시킨 값들의 모임
. 함수 f에 의한 상(image,함수값)을 모아 놓은 집합
. 공역과 잘 구별하지 않으나, 치역은 공역의 부분집합
※ 例)
- 코사인 함수는, cos : R → R
. 정의역 : 실수 전체
. 공역 : 실수 전체
. 치역 : -1과 1 사이의 실수
- f : R2 → R1에서, f(x1,x2) = 2 이라면,
. 정의역 : R2 (실수 순서쌍)
. 공역 : R1 (실수 전체)
. 치역 : 2
ㅇ 상 (image)
- 정의역 원소 x에 대응하는 치역 원소 값(함수 값)인 f(x)를 말함
. 함수 f에 의한 x의 상 또는 함수값 ⇒ f(x) ( x∈X, f(x)∈Y )
. 함수 f가, x로부터 y로의 함수일 때,
.. y를 x의 상(image)이라고 하고,
.. x를 y의 원상(preimage)이라고 함
※ 例) f : A → B 에서, x → x2 일 때,
- 함수 f : 두 집합 A,B 간의 대응 관계
- 정의역 : A, 공역 : B, 치역 : f(A) = {f(x) | x ∈ A}
- 2의 상 : 4, 1의 원상 : 1, 9의 원상 : 3
2. [수학] 함수 및 정의역,치역,공역의 표기
ㅇ (함수 표기) f : D → C
- D 를 C 로 매핑하는 함수 f
. 집합 D (함수 f의 정의역)에서 집합 C (함수 f의 공역)로의 함수
ㅇ (정의역 표기) dom(·)
ㅇ (공변역 표기) codom(·)
ㅇ (치역 표기) rng(·) 또는 im(·)
※ 例) 두 집합 A = {a,b}, B = {p,q,r} 에 대해,
관계 R ⊆ A × B 를, R = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q)}이라 하면, ☞ 관계 (Relation) 참조
- 정의역 : dom(R) = {x ∈ A | ∃y ∈ B, (x,y) ∈ R} = {a,b}
- 공역 : codom(R) = B = {p,q,r}
- 치역 : rng(R) = {y ∈ B | ∃x ∈ A, (x,y) ∈ R} = {p,q}