Domain of Definition, Range of Function, Codomain   정의역, 치역, 공역

1. [수학]  정의역, 공역, 치역, 그리고 상

   ㅇ 정의역 (domain) 
      - 함수에서 입력 원소(독립변수)가 변하는 범위 또는 집합
         . 가능한 입력의 집합

   ㅇ 공역/공변역 (codomain) 
      - 함수 f에 의한 상(image,함수값)이 위치할 수 있는 공간
         . 가능한 출력 전체의 집합
         . 실제로 치역 보다 클 수 있음
         . 치역과 잘 구별하지 않으나, 공역은 치역의 초집합
         . 공역의 원소들이 모두 치역의 원소일 필요는 없음

   ㅇ 치역 (range) 
      - 함수가 실제로 취하는 출력 원소의 집합
         . 정의역에 대응시킨 값들의 모임
         . 함수 f에 의한 상(image,함수값)을 모아 놓은 집합
         . 공역과 잘 구별하지 않으나, 치역은 공역의 부분집합

  ※ 例) 
     - 코사인 함수는, cos : R → R
        . 정의역  :  실수 전체
        . 공역  :  실수 전체
        . 치역  :  -1과 1 사이의 실수

     - f : R2 → R1에서, f(x1,x2) = 2 이라면,
        . 정의역  :  R2 (실수 순서쌍)
        . 공역  :  R1 (실수 전체)
        . 치역 :  2

     

  ㅇ 상 (image)
     - 정의역 원소 x에 대응하는 치역 원소 값(함수 값)인 f(x)를 말함
        . 함수 f에 의한 x의 상 또는 함수값  ⇒   f(x)   ( x∈X, f(x)∈Y )
        . 함수 f가, x로부터 y로의 함수일 때, 
           .. y를 x의 상(image)이라고 하고,
           .. x를 y의 원상(preimage)이라고 함

  ※ 例) f : A → B 에서,  x → x2 일 때, 
     - 함수 f  :  두 집합 A,B 간의 대응 관계
     - 정의역  :  A,  공역  :  B,  치역  :  f(A) = {f(x) | x ∈ A}
     - 2의 상  :  4,  1의 원상  :  1,  9의 원상  :  3  


2. [수학]  함수 및 정의역,치역,공역의 표기

  ㅇ (함수 표기)    f : D → C
     - D 를 C 로 매핑하는 함수 f
        . 집합 D (함수 f의 정의역)에서 집합 C (함수 f의 공역)로의 함수

  ㅇ (정의역 표기)    dom(·)

  ㅇ (공변역 표기)    codom(·) 

  ㅇ (치역 표기)    rng(·) 또는 im(·)

  ※ 例) 두 집합 A = {a,b}, B = {p,q,r} 에 대해,
         관계 R ⊆ A × B 를, R = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q)}이라 하면,   ☞ 관계 (Relation) 참조
     - 정의역  :  dom(R) = {x ∈ A | ∃y ∈ B, (x,y) ∈ R} = {a,b}
     - 공역    :  codom(R) = B = {p,q,r}
     - 치역    :  rng(R) = {y ∈ B | ∃x ∈ A, (x,y) ∈ R} = {p,q}