1. 포아송 방정식 및 라플라스 방정식을 푸는 목적
ㅇ 주어진 공간 내 모든 위치에 대한 포텐셜(전위)의 공간적 분포를 알고자함
2. 포아송 방정식 (Poisson's Equation)
ㅇ 원천(source)이 존재하는 공간에서,
- 원천 분포로부터 포텐셜 분포를 구하는 데 유용한 편미분방정식
. 전하량 밀도 등이 주어졌을 때, 전위 분포 등을 구하는데 편리
ㅇ (표현식) [# \nabla^2 u = f(x,y,z) #]
- f(x,y,z) : 포텐셜을 발생시키는 원천(source) 항을 나타냄
- 만일, f(x,y,z) = 0 이면, 라플라스 방정식이 됨
ㅇ 例) 전하밀도와 전위와의 관계
[# \nabla^2 V = -\frac{\rho_v}{\epsilon_0} \quad \small{또는} \quad
\nabla\cdot(-\nabla V) = \nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_v}{\epsilon_0} #]
- 1차원 표현 例 (전위 전계 전하밀도의 관계)
[# \frac{d^2V(x)}{dx^2} = -\frac{dE(x)}{dx} = -\frac{\rho(x)}{\epsilon} #]
3. 라플라스 방정식 (Laplace Equation)
ㅇ 원천(source)이 없는 공간에서, 포텐셜 함수 분포를 구하는데 유용한 편미분방정식
ㅇ (표현식) [# \nabla^2 u = 0 #]
- 위의 함수 u에 대해 가능한 물리량 例)
. 전하가 없는 정전기 퍼텐셜(전위) [전기장]
. 질량이 없는 중력 퍼텐셜 [중력장]
. 열원이 없는 정상상태 온도 [온도장]
. 비압축성 유체에 대한 속도 퍼텐셜 [속도장] 등
ㅇ 한편, 라플라스 방정식의 해를, 조화 함수(Harmonic Function)라고 부름
- 조화 함수 : 주어진 영역에서 라플라스 방정식을 만족하는 함수
- 특히, 경계에서 u의 값이 주어지고, 이를 만족하는 해(조화 함수)를 구하는 문제를,
. Dirichlet 문제라고 함
4. 경계값 문제 (Boundary Value Problem)
ㅇ 어떤 영역의 경계에서 주어진 경계조건을 이용하여, 영역 내부의 해를 구하는 문제
ㅇ 例) : 경계에서 전위를 알고 있을 때, 영역 내부의 전위 및 전계를 구함
- 포아송 방정식 또는 라플라스 방정식에 적절한 경계조건을 부여하여 해를 결정함
5. 유일성 정리 (Uniqueness Theorem)
ㅇ 적절한 경계 조건과 존재 조건이 주어진 경계값 문제에서,
- 그 조건을 만족하는 해가 유일하게 결정됨을 보이는 정리
ㅇ 따라서, 해를 구하는 방법이, 어떻든 (해석적,도식적,수치해석적,실험적 방법 등),
- 같은 방정식과 같은 경계조건을 만족한다면, 동일한 해를 얻음
ㅇ 의의
- 여러 가지 방법으로 구한 해 중 어느 것이 올바른지를 판단할 수 있게 함
- 즉, 해를 실제로 구하는 방법이라기 보다는, 해의 유일성을 보장하는 정리
ㅇ 유일성 정리의 적용
- 주어진 영역이나 폐곡면에서 포아송 방정식, 라플라스 방정식, 맥스웰 방정식 등의
모든 풀이에 적용됨