1. 수, 산술, 정수, (정)수론 이란?
ㅇ 수 (Number, 數)
- 특정한 량, 위치, 순서 또는 관계 등을 나타내는 수학적 대상
. 수를 성질에 따라 분류 ☞ 수 집합(Number Sets) 참조
. 수의 표현 및 연산 체계 ☞ 수 체계(Number System) 참조
ㅇ 산술 (Arithmetic, 算術) : 기초 산술 (Elementary Arithmetic)
- 수와 수 사이의 계산 및 성질을 다루는 수학의 기초 분야
. 기초 대수
.. 사칙 연산/사칙 계산/가감승제 (＋,－,×,÷)
.. 나눗셈, 나머지
.. 거듭제곱 등
. 이외 추가적으로 기하학,삼각법 일부도 포함되기도 함
- 주로, 초등 교육 과정에서 다루어짐
- 정수론은 산술에서 다루는 정수의 성질을 보다 체계적·이론적으로 연구하는 분야
ㅇ 정수 (Integer, 整數)
- 자연수 전체와 그 역원(음의 수) 및 영(0)을 포함한 수 : { ...,-2,-1,0,1,2,... }
ㅇ 정수론/수론 (Number Theory, 整數論) : 고급 산술 (Higher Arithmetic)
- 정수 및 그들의 성질을 연구하는 수학의 한 분야
. 약수와 배수
. 소수와 소인수분해
. 최대공약수와 최소공배수
. 나머지와 합동
. 정수 계수 방정식
. 정수의 규칙성과 수열 등
2. 정수론의 기본정리
※ ☞ 산술의 기본정리 (Fundamental Theorem of Arithmetic) 참조
- 1보다 큰 모든 자연수는 소수의 곱으로 나타낼 수 있으며, 그 표현은 곱셈 순서를 제외하면 유일함
. 例) 60 = 2² × 3 × 5
- 정수론에서, 소인수분해의 유일성을 보장하는 기본 정리
3. 수론에서, 흥미롭고 규칙성을 갖는 수들의 例)
ㅇ 홀수 : 1,3,5,7,9,11, ...
- 2로 나누어떨어지지 않는 정수
ㅇ 짝수 : 2,4,6,8,10, ...
- 2로 나누어떨어지는 정수
ㅇ 소수 : 2,3,5,7,11,13,17,19, ...
- 1 보다 큰 자연수 중 약수가 1과 자기 자신뿐인 수
ㅇ 합성수 : 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...
- 1 보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 수로써,
- 둘 이상의 소수의 곱으로 표현 가능
ㅇ 제곱수 : 1,4,9,16,25,36, ...
- 어떤 정수의 제곱으로 나타낼 수 있는 수
ㅇ 삼각수 : 1,3,6,10,15,21, ...
- 처음부터 연속된 자연수의 합으로 나타나는 수
ㅇ 피보나치 수 : 1,1,2,3,5,8,13,21, ...
- 앞의 두 수를 더하여 다음 수를 만드는 수열
ㅇ 완전수 : 例) 6 = 1 + 2 + 3
- 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합이 자기 자신과 같은 수
ㅇ 피타고라스 세 수 : (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),...
- a² + b² = c²를 만족하는 세 자연수
4. 수론 학습에 유용한 기본 도구 및 개념
ㅇ 약수와 배수
- 약수 (Divisor, Factor) : 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수
- 배수 (Multiple) : 어떤 수에 정수를 곱하여 얻는 수
- 공약수 (Common Divisor) : 둘 이상의 수가 공통으로 가지는 약수
- 공배수 (Common Multiple) : 둘 이상의 수가 공통으로 가지는 배수
ㅇ 최대공약수와 최소공배수
- 최대공약수 (GCD) : 공약수 중 가장 큰 수
- 최소공배수 (LCM) : 공배수 중 가장 작은 양의 수
- 유클리드 알고리즘 : 최대공약수를 효율적으로 구하는 방법
ㅇ 소수와 소인수분해
- 소수 (Prime) : 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수
- 합성수 (Composite) : 둘 이상의 소수의 곱으로 분해되는 수
- 소인수 (Prime Factor) : 소인수분해에 사용되는 소수
- 소인수분해 (Prime Factorization) : 자연수를 소수들의 곱으로 표현
ㅇ 나눗셈과 가분성
- 나머지 (Remainder) : 나눗셈에서 몫으로 나누어지지 않고 남는 수
- 가분성 (Divisibility) : 어떤 수가 다른 수로 나누어떨어지는 성질
- 서로소 (Coprime) : 최대공약수가 1인 두 정수
- 나눗셈 알고리즘 (Division Algorithm) :
. a = bq + r 형태로 나타내는 정수 나눗셈의 기본 원리