1. 적분 (Integral Calculus)
ㅇ 총합 또는 전체를 가리킴
- 기하학적인 양(길이,넓이,부피) 등을 계산하거나,
. 곡선의 길이,곡선 아래의 넓이 (일변수 함수의 정 적분)
. 입체의 부피,질량,질량중심 등 (다변수 함수의 다중 적분)
- 다양한 물리량을 나타내고 정의하는 수학적 도구
. 속도에 따른 이동 거리, 압력 하의 힘, 일, 플럭스 등
ㅇ 사실상, 적분은 미분의 역 과정으로 봄 ☞ 미적분 기본정리 참조
- 수많은 순간적인 정보들의 합을 구하는 것
. (여기서, 미분은 순간변화율, 적분은 이들의 합을 가리킴)
2. 원시 함수 (Primitive Function), 부정 적분 (Indefinite Integral)의 비교
ㅇ 원시 함수 : F(x)
[# F(x) = \int f(x)dx \quad \longleftrightarrow \quad F'(x) = f(x) #]
- F(x) : 원시 함수 (primitive function) = 역 도함수 (Antiderivative)
. F(x)는, f(x)의 역 도함수(원시 함수)
- f(x) : 피 적분 함수 (integrand)
. f(x)는, F(x)의 도함수
ㅇ 부정 적분 : F(x) + C
[# F(x) + C = \int f(x)dx \quad \longleftrightarrow \quad (F(x) + C)' = f(x) #]
- F(x) + C : f(x)의 부정 적분 (indefinite integral)
. C : 적분 상수 (integration constant)
- f(x) : 피 적분 함수 (integrand)
ㅇ 요약하면,
- `원시 함수` 또는 `역 도함수` 또는 `부정 적분`을 구한다는 것은,
. 미분하면 함수 f(x)가 되는 원래의 함수 F(x)를 찾아내는 것 (이미 알려진 도함수에 의해)
- 적분 기호(∫) 내의 피 적분 함수(적분되는 함수)를 얻으려면,
. `원시 함수` 또는 `역 도함수` 또는 `부정 적분`을 미분하면 됨
3. 정 적분(Definite Integral), 부정 적분(Indefinite Integral)의 비교
ㅇ 정 적분 : 그 결과가 `수`가 됨 => 곡선 아래의 넓이 등을 계산하려는 것
- 적분 한계(구간)가 정해지고, 그 결과가 상수값이 되는 적분
[# \int^b_a f(x) dx = #]
(적분결과가 상수값임)
* 곡선 아래의 넓이 : 원시함수(역도함수) F(x)의 총 변화를 의미함
* 적분 한계 : 위 식에서, 수 a,b
. a : 적분 시작 위치 (적분의 하한, lower limit)
. b : 적분이 끝나는 위치 (적분의 상한, upper limit)
ㅇ 부정 적분 : 그 결과가 `함수`가 됨 => 역도함수를 구하려는 것
- 적분 한계가 명시되어있지 않은 적분
[# \int f(x) dx = F(x) + C #]
. 여기서, 상수 C는 적분 상수(Integration Constant) 라고 함
- 정적분과는 달리, 적분상수 C 만큼 서로다른 가능한 값이 많이 있게됨
. 즉, 정확한 적분값은 나오지 않고,
. 원시함수에 적용하면 어떤 함수를 구할 수 있는 일반 식이 됨
4. 적분 기법 (Integration Method)
ㅇ 치환적분법 (Integration by substitution)
- 피적분함수(적분되는 함수)의 일부를 다른 문자 변수로 치환하여 적분하는 방법
. 즉, 적분 변수의 변환 방법
[# \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du \qquad \left( u = g(x) \right) \\
\qquad\qquad\qquad\quad = F(u) + C = F(g(x)) + C #]
ㅇ 부분적분법 (integration by parts)
[# \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x) dx \\
\int u dv = u v - \int v du #]