1. 물리량의 복소수 표현
ㅇ 진동,파동,교류,점탄성 등에서,
- 크기와 위상(시간 지연) 또는 저장과 손실을 동시에 표현하기 위해 복소수를 사용함
ㅇ 공통 표현 형태
- 일반 표현 : {# X = X' ± j X'' #}
. {#X'#} : 저장,실수,동상(In-phase) 성분
. {#X''#} : 손실,허수,직교(Out-of-phase) 성분
. {#j#} : 위상차 90˚ 표현
- 극형식 표현 : {# X = |X|e^{jφ} = X' + jX'' #}
. {#|X| = \sqrt{X'^2 + X''^2}#} : 크기(Magnitude)
. {#φ = \tan^{-1}(X''/X')#} : 위상각
- 손실 표현 : 손실각 (Loss angle) δ
. {#\tan δ = X''/X'#} : 저장 대비 손실의 비율 지표
2. 복소수 표현 의의
ㅇ 복소수 표현은 단순 계산 편의가 아니라,
- "에너지의 저장과 손실", "입력과 응답의 위상차" 등을 동시에 표현하는 물리적 언어임
ㅇ 즉, "복소수 = 크기 + 위상 정보"로써 이해하면,
- 전자기학,전기회로,기계,진동,제어 등의 분야가 하나로 연결됨
ㅇ 또한, 주파수 의존성을 나타내며,
- 대부분의 복소 물리량은, ω의 함수 → 분산(Dispersion) 현상의 공통 기반을 갖음
ㅇ 또한, 손실각 δ에 의해, 유전 손실({#\tan δ_e#}), 역학 손실({#\tan δ_m#}), 자기 손실({#\tan δ_μ#}) 등
- 모두 동일한 수학 구조를 갖으며, → 분야 간 유추 가능
3. 분야별 공통 구조
ㅇ 복소 유전율 (전자기학) : {# ε = ε' − jε'' #}
- {#ε'#} : 전기 에너지 저장
- {#ε''#} : 유전 손실 (열 손실)
ㅇ 복소 탄성계수 (기계공학, 점탄성체) : {# E = E' + j E'' #}
- {#E′#} : 탄성적 저장 성분
- {#E′′#} : 점성 손실 성분
ㅇ 복소 전력 (회로이론) : {# S = P + jQ #} [Watt]
- P : 유효 전력 (실제 소비 전력) (평균 전력)
- Q : 무효 전력 (저장,반환되는 전력)
ㅇ 복소 임피던스 (회로이론) : {# Z = R + jX #} [Ω]
- R : 실제 전력 소비
- X : 에너지 저장 (인덕터/커패시터의 리액턴스)
. {#X > 0#} : 유도성(Inductive), {#X < 0#} : 용량성(Capacitive)
ㅇ 복소 서셉턴스 (회로이론) : {# Y = G + jB #}
- G : 컨덕턴스 (실제 소비)
- B : 서셉턴스 (에너지 저장)
ㅇ 복소 전달함수 / 복소 주파수응답 (제어공학) : {#H(j\omega) = |H|e^{j\phi}#}
- |H| : 이득 (Gain)
- ψ : 위상 지연 (Phase Delay/Shift)
ㅇ 복소 음향 임피던스 (음향학) : {# Z_a = R_a + jX_a #}
- Ra : 음향 저항 (에너지 흡수)
- Xa : 음향 리액턴스 (에너지 저장)
ㅇ 복소 전파정수 (물리학) : {# γ(jω) = jk = α(ω) + jβ(ω) #} [1/m]
- {#γ(jω)#} : 복소 전파정수 (Complex Propagation Constant)
[# γ^2 = (α + jβ)(α + jβ) = α^2 - β^2 + 2jαβ #]
- {#k#} : 파수 (Wave Constant) 때론, 파수 벡터 (Wave Number Vector)
- {#α#} : 감쇠 정수 (Attenuation Constant)
- {#β#} : 위상 정수 (Phase Constant) 또는 파수(Wave Number)