Runge–Kutta Method   룬게-쿠타 법

1. 룬게-쿠타 법 (Runge–Kutta Method)

  ㅇ 단일 기울기 만 사용하는 오일러법을 개선코자, 여러 지점 기울기들을 가중 평균 내어, 
     - 근사적으로 미분방정식 수치 해의 다음 지점을 예측하면서,
     - 보다 정확하게 미분방정식 해를 구해 나가는 수치해법


2. 룬게-쿠타 법 아이디어

  ㅇ (비교)
     - 오일러법은, 단 하나의 기울기만 사용
     - 룬게쿠타법은, 한 스텝 내 여러 지점 기울기들을 가중 평균
        . (RK4 경우)  {#k_1#} : 시작점 기울기, {#k_2,k_3#} : 중간점 기울기, {#k_4#} : 끝점 기울기

  ㅇ (표현식)
       
[# y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^{s} b_i k_i #]
     - yn : 해의 현재 값, yn+1 : 해의 다음 값
     - h : 스텝 크기
     - s : 단계 수 (RK4에서는, s = 4)
     - ki : 서로 다른 지점에서의 기울기 샘플
     - bi : 그 기울기를 얼마나 반영할지 정하는 가중치


3. 4차 룬게-쿠타 법 (RK4)

  ㅇ 가장 널리 쓰이는 4차 룬게-쿠타법 (RK4)
     - 오일러법 보다 훨씬 정확한 4차 근사법으로,
         
[# \begin{aligned}
              k_1 &= f(t_n,\, y_n), \\
              k_2 &= f\!\left(t_n + \frac{h}{2},\, y_n + \frac{h}{2}k_1\right), \\
              k_3 &= f\!\left(t_n + \frac{h}{2},\, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), \\
              k_4 &= f\!\left(t_n + h,\, y_n + h\,k_3\right),
            \end{aligned} #]
     - 이를 평균 가중합으로 결합하여, 다음 단계를 계산
         
[# y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right) #]