Observables, Operator   가 관측량, 관측 가능량, 연산자

1. 가 관측량(可觀測量), 관측 가능량, 관측량 (Observables)

  ㅇ 물리적으로, 측정 가능한 물리량

  ㅇ [고전역학]  동역학적 변수에 대응
     - 위치, 선운동량, 각운동량, 에너지 등

  ㅇ [양자역학]  관측 및 측정할 수 있는 물리적 양
     - 위치, 선운동량, 궤도 각운동량, 스핀, 에너지 등

     - (수학적 표현)  연산자에 대응됨
        . 수학적으로, 각각의 관측량에 대응시켜 연산자로 표현 가능

     - (관측량과 측정값 간의 관계)  고유값 방정식
        . 관측량을 측정하면, 해당 관측량 연산자의 고유값 중 하나가 측정값으로 얻어짐
        . 측정 결과의 확률은, 양자역학적 계의 고유 상태에 의해 결정됨


2. 연산자 이란?

  ㅇ [수학]  함수, 벡터 등에 작용하여 다른 함수, 벡터 등으로 변환시키는 규칙(작용소)

  ㅇ [양자역학]  물리적 관측량을 수학적으로 표현하는 도구
     - 파동함수 또는 상태벡터에 작용함

     - 연산자의 주요 특징
        . 양자역학에서는 관측량을 주로 선형 연산자로 표현
        . 물리적 관측량에 대응하는 연산자는 일반적으로 헤르미트 연산자로 취급

     - 관측량과 연산자의 대응
        . 위치 → 위치 연산자
        . 선운동량 → 선운동량 연산자
        . 에너지 → 해밀토니안 연산자 등

     - 例) 선운동량 연산자  :  
[# \hat{p}_x=-i\hbar\frac{d}{dx} #]
        . 운동량 고유 상태에서는 다음의 고유값 방정식을 만족
            
[# \hat{p}_x\psi_p(x)=p_x\psi_p(x) #]


3. 연산자의 고유값 방정식

  ㅇ 연산자를 어떤 상태에 작용시킨 결과가 그 상태의 상수배가 되는 관계식
      
[# \hat{A}\psi = a\psi #]

     - 고유값 (Eigenvalue) {#a#}  :  연산자 {#\hat{A}#}에 대응하는 상수값
        . 관측량 연산자의 경우, 가능한 측정값에 해당
     - 고유함수 (Eigenfunction) {#\psi#}  :  고유값 {#a#}에 대응하는 함수
        . 파동함수가 아닌 상태벡터 관점에서는, 고유벡터라고 함


4. 고유값 방정식 형태 例

  ㅇ 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 고유값 방정식 표현

      
[# Hψ(x) = Eψ(x) #]
     - 해밀토니안 연산자  :  H
        . 계의 전체 에너지를 나타내는 연산자
        . 일반적으로 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 구성
           
[# H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V = \small{운동에너지} + \small{위치에너지} #]
     - 에너지 고유값  :  E
        . 해당 상태에서 측정 가능한 에너지 값
        . 해밀토니안 연산자의 고유값
     - 에너지 고유함수  :  Ψ(x)
        . 고유값 E에 대응하는 고유함수


5. 여러 관측가능 물리량에 대응하는 연산자들의 요약