Boolean Algebra   부울 대수, 불리안 대수, 불 대수

(2020-07-24)

Binary Logic, 2치 논리, Switching Algebra, 스위칭 대수

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부울 대수  1. 부울 대수
  2. 부울변수,부울식,부울함수
  3. 드모르간의 법칙
  4. 진리값,진리표
  5. 부울 대수의 주요 정리들
  6. 부울식의 간략화
  7. 카르노 맵

1. 부울 대수 (Boolean Algebra)

  ㅇ `2치 논리 계산`을 `집합 개념을 이용하여 형식화(기호화)시킨` 대수
     - 2치(0/1,true/false,high/low등) 논리연산(AND,OR,NOT)을 다룸
        . 2치 논리 기호논리 연산자를 사용하여 논리 결과를 결정(판단)하게 됨


2. 부울 대수의 역사, 명칭

  ㅇ (역사)
     - 부울 대수는, 1847년경 George Boole(영국 수학자, 1815~1864)에 의해 창안됨
        . 논리적 사고를 형식화함 즉, 언어 대신 기호를 사용하는 논리학을 발전시킴

     - 1936년 Shannon이 석사논문에서 스위칭 회로설계에 부울 대수가 매우 유용함을 밝힘
        . `A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits` 
           .. 스위칭 회로수학적 묘사인 스위칭 대수를 부울 대수에 의해 적용이 가능

  ㅇ (명칭) 결국, 부울 대수 또는 부울 연산 = 논리 연산스위칭 대수
     - 여기서, 부울 연산 (Boolean Operation), 논리 연산 (Logic Operation) 이란?
        . 1 이상의 입력 논리값들로부터 새로운 논리값을 얻는 연산


3. 부울 대수의 의의

  ㅇ 부울 대수는,
     - 비록 매우 단순한 대수 규칙이지만, 
        . 구성 요소 둘 : 1(true), 0 (false)
        . 연산 셋 : AND, OR, NOT (이들이 전부임)
     - 논리수학을 연결하여, 
     - 논리연산이라는 새로운 시각을 보여줌

  ※ [참고] ☞ 수리 논리학 참조
     - 논리의 엄격한 수학화를 통해, 결론에 이르는 추론 논리과학화 영역


4. 부울 대수의 특징논리에 따른 입출력 관계를 수학집합 연산 개념과 유사하게 출력 논리값을 계산 함
     - 합집합 : A ∪ B => OR : A + B
     - 교집합 : A ∩ B => AND : A · B 
     - 한편, 다음과 같은 논리 대수는 통상적인 대수와는 전혀 다름
        . A + (B · C) = (A + B)·(A + C)
        . A + A = A, A · A = A 등등

  ㅇ 대수학, 부울대수 비교
     - 상수   : (대수) 수많은 수치값 중 하나, (부울대수) '참','거짓' 논리값 중 하나 
     - 미지수 : (대수) x,y 등 일반 변수,      (부울대수) X,Y,A,B 등 논리 변수
     - 연산자 : (대수) 사칙 연산자 등,        (부울대수) OR(+), AND(·), NOT(')

  ㅇ 논리회로 표현/설계에 유용하게 활용 가능
     - 기능 정의(요구사항) ⇒ 진리표논리식(부울식) ⇒ 논리식의 간략화논리회로


5. 부울 대수의 공리 및 표기공리 
     - (합)   1 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 =1
     - (곱)   0·0 = 0, 1·1 = 1, 0·1 = 1·0 = 0
     - (부정) x = 0 이면 x'= 1, x = 1 이면 x'= 0

  ㅇ 표기 :  B = (S, +, ·, ')
     - 집합 S  :  그 원소가 {`0`,`1`}로 만 된 부울대수 집합
     - 논리 연산자  :  (+), (·), (') 
        .  이항 연산자 :  OR(+), AND(·)
        .  단항 연산자 :  NOT(')


6. 부울 대수의 활용 분야컴퓨터 공학 등에서,
     - 각 디지털 게이트의 연결 관계 및 논리 회로대수적 표현으로 나타내는데 이용됨

  ㅇ 기타 분야로, 집합론, 수학논리 등에 활용됨


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