Differential Operator   미분 연산자

(2020-10-24)

Scalar Differential Operator, 스칼라 미분연산자


1. 미분 연산자 (Differential Operator)미분 연산자 
     - 미분 연산을 나타내는 기호 (미분 연산 표기를 간략히 줄여줌)
        .   Dx = d/dx,  Dy = dy/dx,  Dny = dny/dxn
        .  또는,  s = d/dt, sk = dky/dtk미분 연산자 다항식 (Differential Operator Polynomial)
     - 미분 연산자에 의한 다항식
        .   P(D) = Dn + Dn-1 + ... + D1 + D0
        .  例)  P(D) = D2 + 3D - 1 
             ⇒ P(D)y = (D2 + 3D - 1)y = D2y + 3Dy - y = d2y/dx2 + 3dy/dx - y

  ㅇ 선형 미분 연산자 (Linear Differential Operator)
     - 미분 연산자 그 자체가 선형성을 갖으며 함수 y(x)에 작용하는 선형 연산자임
        .  L(y) = andny/dxn + an-1dn-1y/dxn-1 + ... + a1(x)dy/dx + a0(x)y
           .. 즉, 각 항이 상수 계수를 갖음 (변수 계수를 갖으면 선형성을 갖지 못함)
     - 다음과 같이 선형성을 갖음
        .   L(c1y1+c2y2) = c1L(y1) + c2L(y2)

  ※ 한편, 
     - 여기까지는,  스칼라와 관련된 미분 연산자이고,
     - 벡터와 관련된 미분 연산자는,  ☞ 벡터 미분연산자 참조


2. 미분연산자에 의한 응용 상의 특징

  ㅇ 복잡한 미분방정식을 좀 더 단순한 대수 방정식으로 변환시켜 풀이를 쉽게 해줌


3. 영화 연산자,절멸 연산자 (Annihilating Operator)함수를 0 (零化,Annihilate) 으로 만들게하는 미분연산자
     - 例 1) f(x) = 20 cos 2x 
        .  (D2 + 4)(20 cos 2x) = (-80 cos 2x + 80 cos 2x) = 0

     - 例 2) f(x) =  e5x
        .  (D - 5)(e5x) = (5e5x - 5e5x) = 0

  ㅇ 영화연산자를 쉽게 찾는 방법
     -  상수  =>  (D) 
     -  xn-1  =>  (Dn)
     -  eαx  =>  (D - α)
     -  eαx + x eαx  =>  (D - α)2
     -  eαx + xn-1  =>  Dn(D - α)
     -  sin αx, cos αx  =>  (D2 + α2) 
     -  eαx cos βx, eαx sin βx  =>  [D2 - 2αD + (α22)]



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