해밀턴 원리, 최소 작용의 원리

(2023-07-20)

1. 해밀턴 원리 (Hamilton's Principle), 최소 작용의 원리 (Principle of Least Action)

  ※ [유사/참고 용어]
     - 광학, 최소 거리의 원리 또는 반사 법칙
     - 광학, 최소 시간의 원리(Principle of Least Time) 또는 페르마 원리(Fermat's Principle)
     - 수학, 변분 원리(Variational principle)
     - 역학, 최소 작용의 원리(Principle of Least Action) 또는 해밀턴 원리(Hamilton's Principle)

  ㅇ 동역학 계에서, 운동궤적은, 항상, 작용량(Action)을 최소화 하도록 취해짐
     - 주어진 시간 동안, 역학계를 하나의 배위로부터 다른 배위로 가져가는 모든 가능한 운동 중에,
        . (배위 : 위치 관계)
     - 실제로 취하는 경로는, 
        . (경로 : 여러 다양한 경로가 있을 수 있음)
     - 그 계의 라그랑지안시간 적분을 최소로 하는 경로가 됨
        . (라그랑지안시간 적분 : 작용(Action))

  ㅇ 즉, 움직이는 입자는, 시간 t 동안, 여러 경로 중에,
     - 라그랑지안 (운동에너지 T에 위치에너지 V를 뺀 차이 L)의 적분인,
     - 작용량 (Action) : 
[# \int^{t_2}_{t_1} L dt = \int^{t_2}_{t_1} (T - V) dt #]
를, - 최소화하는 경로를 따라감 ㅇ 여기서, 라그랑지안 L은, - 속도와 관련된 운동에너지와 위치와 관련된 위치에너지를 포함하므로, - 함수적인 경로임 . (시간,위치,속도 모두가 엮어진 함수 관계를 갖는 함수적인 경로) - 결국, 취하는 경로에 따라 다른 적분 값(작용량)을 갖을 수 있게됨 ※ Hamilton, William Rowan (1805~1865) : 영국(아일랜드 더블린)의 수학자,이론 물리학자,천문학자 - 해밀턴 원리 (1834년 발표), 벡터(Vector)라는 용어 도입, 실수 체계 일반화 등

일반역학
   1. 라그랑지안,해밀토니안   2. 일반화 좌표   3. 달랑베르 원리   4. 운동방정식   5. 해밀턴 원리  


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